Esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos
tais que:
;
Passo 1
O enunciado pede o esboço da superfície em
definida por
O conteúdo é quadricas em três dimensões—mais precisamente trata-se de um hiperbolóide. Para esboçar, vamos analisar as seções transversais da superfície em planos horizontais
constante) e verticais (
ou
.
Passo 2
Seção horizontal em
.
Substituindo na equação, obtemos
Substituindo
Isto é um círculo centrado na origem do plano
com raio
Concluímos que, à medida que
aumenta, o raio do círculo cresce.
Passo 3
Seções verticais em planos
e
.
- Em
temos
que é uma hipérbole cujos vértices estão em
.
2. Em temos
2. Em
outra hipérbole análoga, com vértices em
.
Passo 4
Montagem do esboço.
– Cada plano horizontal corta a superfície em um círculo de raio
.
– Cada plano vertical ou
corta em hipérboles que se abrem nos eixos
ou
.
– A superfície é contínua, simétrica em relação ao plano , e se afasta cada vez mais do eixo
quando
cresce.
– Cada plano horizontal
– Cada plano vertical
– A superfície é contínua, simétrica em relação ao plano
O esboço resultante é um hiperbolóide de uma folha, com “cintura” mínima no plano
(onde o círculo tem raio
) e se alargando para cima e para baixo.
Resposta
A superfície é um hiperbolóide de uma folha, gerado por círculos de raio
em cada altura
, e cujas seções verticais são hipérboles dadas por
e
.