Esboce a superfície formada pelo conjunto dos pontos (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} tais que:
x^{2}+y^{2}-z^{2}=1;

Passo 1

O enunciado pede o esboço da superfície em \mathbb{R}^3 definida por
x^{2}+y^{2}-z^{2}=1.
O conteúdo é quadricas em três dimensões—mais precisamente trata-se de um hiperbolóide. Para esboçar, vamos analisar as seções transversais da superfície em planos horizontais z= constante) e verticais ( x=0 ou y=0.

Passo 2

Seção horizontal em z=k.
Substituindo z=k na equação, obtemos
x^{2}+y^{2}=1+k^{2}.
Isto é um círculo centrado na origem do plano z=k com raio
r(k)=\sqrt{1+k^{2}}.
Concluímos que, à medida que \lvert k\rvert aumenta, o raio do círculo cresce.

Passo 3

Seções verticais em planos y=0 e x=0.
  1. Em y=0 temos
x^{2}-z^{2}=1,
que é uma hipérbole cujos vértices estão em (x,z)=(\pm1,0).
2. Em x=0 temos
y^{2}-z^{2}=1,
outra hipérbole análoga, com vértices em (y,z)=(\pm1,0).

Passo 4

Montagem do esboço.
– Cada plano horizontal z=k corta a superfície em um círculo de raio \sqrt{1+k^{2}}.
– Cada plano vertical y=0 ou x=0 corta em hipérboles que se abrem nos eixos x ou y.
– A superfície é contínua, simétrica em relação ao plano z=0, e se afasta cada vez mais do eixo z quando \lvert z\rvert cresce.
O esboço resultante é um hiperbolóide de uma folha, com “cintura” mínima no plano z=0 (onde o círculo tem raio 1) e se alargando para cima e para baixo.

Resposta

A superfície é um hiperbolóide de uma folha, gerado por círculos de raio \sqrt{1+z^{2}} em cada altura z, e cujas seções verticais são hipérboles dadas por x^{2}-z^{2}=1 e y^{2}-z^{2}=1.

Exercícios relacionados