Desenhe a imagem de cada uma das seguintes curvas:
\gamma(t)=(\cos t, \sin t, 2), 0 \leq t \leq \pi ;

Passo 1

O enunciado pede para desenharmos a imagem da curva \gamma\colon [0,\pi]\to \mathbb{R}^3 definida por
\gamma(t) = (\cos t,\;\sin t,\;2).
O conteúdo aqui é curvas paramétricas em \mathbb{R}^3 e, em particular, como a parte (\cos t,\sin t) gera um círculo de raio 1 no plano xy, enquanto a coordenada z fica constante.

Passo 2

Analisando as duas primeiras componentes,
(x(t),y(t)) = (\cos t,\sin t),\quad t\in[0,\pi],
sabemos da geometria analítica que isso descreve o semicírculo superior de raio 1 centrado na origem do plano xy, pois \cos^2t+\sin^2t=1.

Passo 3

A terceira componente é
z(t)=2,
constante. Isso significa que todo o semicírculo fica “erguido” até o plano paralelo ao plano xy que passa em z=2.

Passo 4

Juntando as informações, a imagem de \gamma é o semicírculo de raio 1 no plano z=2, começando em
\gamma(0) = (1,0,2)
e terminando em
\gamma(\pi) = (-1,0,2),
passando por (0,1,2). A orientação segue no sentido anti-horário visto de cima.

Resposta

A imagem de \gamma é o semicírculo de raio 1, centrado em (0,0,2), contido no plano z=2, que vai de (1,0,2) até (-1,0,2) passando por (0,1,2).

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