Calcule os limites
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-\operatorname{sen}(x)}{\cos (x)-x}

Passo 1

O enunciado pede
L = \lim_{x\to 0}\frac{x^{2}-\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)-x}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites usando séries de Taylor (expansão em potenciais de x) para aproximar \operatorname{sen}(x) e \cos(x) perto de x=0.

Passo 2

Vamos escrever as expansões de Taylor até ordem suficiente:
\operatorname{sen}(x) = x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}),
\cos(x) = 1 - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}).

Passo 3

Substituindo essas séries em numerador e denominador:
\text{numerador }= x^{2} - \operatorname{sen}(x) = x^{2} - \Bigl(x - \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5})\Bigr) = -\,x + x^{2} + \frac{x^{3}}{6} + O(x^{5}),
\text{denominador }= \cos(x) - x = \Bigl(1 - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4})\Bigr) - x = 1 - x - \frac{x^{2}}{2} + O(x^{4}).

Passo 4

Ao fazermos x\to0, o numerador tende a 0 (pois o termo dominante é -x\to0) e o denominador tende a 1. Logo
L = \frac{0}{1} = 0.

Resposta

0

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