Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, no ponto P(0,0, \pi / 4).

Passo 1

O enunciado pede: “Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} no ponto P(0,0,\pi/4).”
Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
  • O ponto onde devemos avaliar as derivadas parciais é P(0,0,\pi/4).
  • O que se pede são as três derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}, calculadas no ponto P.

Passo 2

O que significa derivada parcial e como vamos calcular: a derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo x) mede a taxa de variação de f quando só x muda e as outras variáveis ficam fixas. Formalmente, para \dfrac{\partial f}{\partial x} em um ponto, derivamos f como se y e z fossem constantes.
Aqui é conveniente reescrever f usando potência para aplicar regra da cadeia:
f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}.
A regra da cadeia para funções compostas diz que se f(u) = u^{1/2} e u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{d}{du}\big(u^{1/2}\big)\Big|_{u=x^{2}+y^{2}+z^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Explicando os termos:
  • \dfrac{d}{du}(u^{1/2}) = \tfrac{1}{2}u^{-1/2} (regra do expoente).
  • \dfrac{\partial u}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2}) = 2x, pois y e z são tratados como constantes.

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para \dfrac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
Aqui cada passo foi:
  • usar \dfrac{d}{du}(u^{1/2})=\tfrac{1}{2}u^{-1/2};
  • multiplicar por \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x;
  • simplificar o 2 com \tfrac{1}{2}.
De modo análogo, para \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z} (porque a expressão é simétrica em x,y,z):
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\qquad \frac{\partial f}{\partial z}=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

Passo 4

Agora vamos avaliar essas expressões no ponto P(0,0,\pi/4). Primeiro calculamos o denominador comum:
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\Big|_{P}=\sqrt{0^{2}+0^{2}+\big(\tfrac{\pi}{4}\big)^{2}}=\sqrt{\big(\tfrac{\pi}{4}\big)^{2}}=\tfrac{\pi}{4},
pois \tfrac{\pi}{4}>0.

Passo 5

Substituindo nos numeradores e simplificando:
Para \dfrac{\partial f}{\partial x} em P:
\frac{\partial f}{\partial x}(P)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\Big|_{P}=\frac{0}{\tfrac{\pi}{4}}=0.
Para \dfrac{\partial f}{\partial y} em P:
\frac{\partial f}{\partial y}(P)=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\Big|_{P}=\frac{0}{\tfrac{\pi}{4}}=0.
Para \dfrac{\partial f}{\partial z} em P:
\frac{\partial f}{\partial z}(P)=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\Big|_{P}=\frac{\tfrac{\pi}{4}}{\tfrac{\pi}{4}}=1.

Passo 6

Interpretação rápida (para fixar): geometricamente f é a distância ao origem no espaço. No ponto P a variação de f quando se aumenta um pouco z é 1 (ou seja, um aumento pequeno em z aumenta f praticamente na mesma proporção), enquanto pequenas variações em x ou y não mudam f na primeira ordem naquele ponto porque x e y são zero ali.
Força final: você chegou no resultado! Boa — isso é exatamente o que costumam pedir em provas.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(0,0,\pi/4)=0
\dfrac{\partial f}{\partial y}(0,0,\pi/4)=0
\dfrac{\partial f}{\partial z}(0,0,\pi/4)=1

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