Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função. f(x, y, z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, no ponto P(0,0, \pi / 4).
Passo 1
O enunciado pede: “Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} no ponto P(0,0,\pi/4).”
Informações fornecidas:
A função é f(x,y,z)=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}.
O ponto onde devemos avaliar as derivadas parciais é P(0,0,\pi/4).
O que se pede são as três derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}, calculadas no ponto P.
Passo 2
O que significa derivada parcial e como vamos calcular: a derivada parcial de f em relação a uma variável (por exemplo x) mede a taxa de variação de f quando só x muda e as outras variáveis ficam fixas. Formalmente, para \dfrac{\partial f}{\partial x} em um ponto, derivamos f como se y e z fossem constantes.
Aqui é conveniente reescrever f usando potência para aplicar regra da cadeia:
f(x,y,z)=(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{1/2}.
A regra da cadeia para funções compostas diz que se f(u) = u^{1/2} e u(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, então
Interpretação rápida (para fixar): geometricamente f é a distância ao origem no espaço. No ponto P a variação de f quando se aumenta um pouco z é 1 (ou seja, um aumento pequeno em z aumenta f praticamente na mesma proporção), enquanto pequenas variações em x ou y não mudam f na primeira ordem naquele ponto porque x e y são zero ali.
Força final: você chegou no resultado! Boa — isso é exatamente o que costumam pedir em provas.