Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=(2 x+10 y)^{10}.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x,y)=(2x+10y)^{10}\, e pede as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
As informações relevantes fornecidas: a função é uma potência de uma combinação linear de x e y, com expoente 10.

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de f em relação a x, \dfrac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando x varia e y é mantido constante. Analogamente, \dfrac{\partial f}{\partial y} mede a taxa de variação quando y varia e x é mantido constante.
Na prática, para calcular \dfrac{\partial }{\partial x} de uma expressão, trata-se y como uma constante; para \dfrac{\partial }{\partial y}, trata-se x como constante.

Passo 3

Relembrando a regra da cadeia e a regra da potência (em uma forma útil aqui). Se \,f(x,y)=\big(u(x,y)\big)^{n} com n constante, então, pela regra da potência combinada com a regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial x}=n\big(u(x,y)\big)^{\,n-1}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Aqui u(x,y)=2x+10y e n=10. Vamos aplicar essa fórmula.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x}.
Primeiro calcule a derivada parcial do “interno”:
\frac{\partial}{\partial x}(2x+10y)=2,
pois y é tratado como constante.
Agora use a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}=10(2x+10y)^{9}\cdot 2.
Multiplicando os coeficientes:
\frac{\partial f}{\partial x}=20(2x+10y)^{9}.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Primeiro a derivada parcial do interno em relação a y:
\frac{\partial}{\partial y}(2x+10y)=10,
pois x é tratado como constante.
Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}=10(2x+10y)^{9}\cdot 10.
Multiplicando os coeficientes:
\frac{\partial f}{\partial y}=100(2x+10y)^{9}.

Passo 6

Dica rápida para a prova (resumo prático): quando tiver (a x + b y)^n, pode memorizar que
\frac{\partial}{\partial x}(a x + b y)^n = n\,a\,(a x + b y)^{n-1}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}(a x + b y)^n = n\,b\,(a x + b y)^{n-1}.
Aqui a=2, b=10, n=10, o que leva diretamente aos resultados obtidos.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}=20(2x+10y)^{9}
\dfrac{\partial f}{\partial y}=100(2x+10y)^{9}

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