Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja:
- Calcular
. - Calcular
.
As informações relevantes fornecidas: a função é uma potência de uma combinação linear de
e
, com expoente
.
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
A derivada parcial de em relação a
,
, mede a taxa de variação de
quando
varia e
é mantido constante. Analogamente,
mede a taxa de variação quando
varia e
é mantido constante.
A derivada parcial de
Na prática, para calcular
de uma expressão, trata-se
como uma constante; para
, trata-se
como constante.
Passo 3
Relembrando a regra da cadeia e a regra da potência (em uma forma útil aqui). Se
com
constante, então, pela regra da potência combinada com a regra da cadeia,
Aqui
e
. Vamos aplicar essa fórmula.
Passo 4
Calcular
.
Primeiro calcule a derivada parcial do “interno”:
pois
é tratado como constante.
Agora use a regra da cadeia:
Multiplicando os coeficientes:
Passo 5
Calcular
.
Primeiro a derivada parcial do interno em relação a
:
pois
é tratado como constante.
Aplicando a regra da cadeia:
Multiplicando os coeficientes:
Passo 6
Dica rápida para a prova (resumo prático): quando tiver
, pode memorizar que
Aqui
,
,
, o que leva diretamente aos resultados obtidos.