Resolva as questões:
Se f(x, y)=\frac{x e^{x y^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3 / 2}}\, determine \(f_{x}(1,0).)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{x e^{x y^{2}}}{\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3/2}}
e pede para determinar a derivada parcial de f em relação a x avaliada no ponto (1,0), ou seja calcular \displaystyle f_{x}(1,0).

Passo 2

Lembrete rápido do que é derivada parcial: \displaystyle f_{x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) é a derivada de f em que tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Exemplo simples: se g(x,y)=x^{2}y, então \displaystyle g_{x}=2x y porque y é constante nesse processo.

Passo 3

É conveniente escrever f como produto de duas funções:
u(x,y)=x e^{x y^{2}},\qquad v(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-3/2},
de modo que
f(x,y)=u(x,y)\,v(x,y).
Para derivar um produto usamos a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}(u v)=u_{x} v + u\, v_{x},
onde u_{x}=\dfrac{\partial u}{\partial x} e v_{x}=\dfrac{\partial v}{\partial x}.

Passo 4

Calcular u_{x}. A função u é um produto x\cdot e^{x y^{2}}, então aplicamos a regra do produto:
u_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x\big)\cdot e^{x y^{2}} + x\cdot\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x y^{2}}\big).
Derivando: \dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1. Para \dfrac{\partial}{\partial x}\big(e^{x y^{2}}\big) usamos a regra da cadeia: derivada do exponencial é o exponencial multiplicado pela derivada do expoente x y^{2} em relação a x, que é y^{2}. Assim
u_{x}=e^{x y^{2}} + x\cdot e^{x y^{2}}\cdot y^{2}=e^{x y^{2}}\big(1 + x y^{2}\big).

Passo 5

Calcular v_{x}. Temos v(x,y)=(x^{2}+y^{2})^{-3/2}. Usamos a regra da cadeia: se w(t)=t^{-3/2} então w'(t)=-\tfrac{3}{2}t^{-5/2}, e t=x^{2}+y^{2} tem derivada 2x em relação a x. Logo
v_{x}=-\frac{3}{2}(x^{2}+y^{2})^{-5/2}\cdot 2x = -3x\,(x^{2}+y^{2})^{-5/2}.

Passo 6

Agora montamos f_{x} usando a regra do produto:
f_{x}(x,y)=u_{x} v + u\, v_{x} = e^{x y^{2}}\big(1 + x y^{2}\big)(x^{2}+y^{2})^{-3/2} + x e^{x y^{2}}\big(-3x\,(x^{2}+y^{2})^{-5/2}\big).
Vamos avaliar em (1,0). Note que em (1,0) temos y=0, então e^{x y^{2}}=e^{0}=1 e x^{2}+y^{2}=1. Substituindo:
u_{x}(1,0)=1\cdot(1+1\cdot 0)=1,\qquad v(1,0)=1,\qquad u(1,0)=1,\qquad v_{x}(1,0)=-3\cdot 1\cdot 1^{-5/2}=-3.
Portanto
f_{x}(1,0)=u_{x}(1,0)\,v(1,0)+u(1,0)\,v_{x}(1,0)=1\cdot 1 + 1\cdot(-3)=1-3=-2.

Resposta

f_{x}(1,0)=-2

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