Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
, isto é,
e
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função é dada em forma de quociente: numerador
e denominador . - Queremos as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e em relação a . - Ao calcular
trataremos como constante; ao calcular trataremos como constante.
Passo 2
Estratégia geral (conceito que vamos usar): para derivadas parciais de uma função dada como quociente, aplicamos a regra do quociente mantendo a outra variável constante.
Recordando a regra do quociente (aplicada a derivadas parciais): se
então
e
Aqui
é o numerador e
é o denominador. Cada derivada parcial é feita tratando a outra variável como constante.
Também lembretes básicos (usaremos sem provar):
-
, . -
(pois é constante quando derivamos em relação a ). - Análogos para derivação em relação a
.
Passo 3
Definimos
e
Vamos calcular primeiro
.
Calcule as derivadas parciais necessárias:
porque
e
(pois
é constante).
pois
e
(
constante).
Agora aplique a regra do quociente para
:
Passo 4
Substituímos
e
na expressão e expandimos cuidadosamente:
Escrevendo
e
:
Então
Expandindo os termos do numerador passo a passo:
Somando-os:
Agrupando termos semelhantes:
Podemos fatorar um pouco para ficar mais legível:
Portanto
Outra forma equivalente e um pouco mais compacta é
Passo 5
Agora vamos calcular
seguindo o mesmo roteiro.
Primeiro as derivadas parciais:
pois
(
tratado como constante).
Aplicando a regra do quociente para
:
Passo 6
Substituímos
e
e expandimos:
Expandindo cada termo do numerador:
Somando:
Agrupando termos semelhantes:
Podemos rearranjar/fatorar:
Portanto
Outra forma equivalente: