Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
f(x, y)=\frac{1-x y}{1+x^{2}+y^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\frac{1-x y}{1+x^{2}+y^{2}}
e pede: calcular as derivadas parciais de primeira ordem de f, isto é, \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é dada em forma de quociente: numerador 1-x y e denominador 1+x^{2}+y^{2}.
  • Queremos as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e em relação a y.
  • Ao calcular \frac{\partial f}{\partial x} trataremos y como constante; ao calcular \frac{\partial f}{\partial y} trataremos x como constante.

Passo 2

Estratégia geral (conceito que vamos usar): para derivadas parciais de uma função dada como quociente, aplicamos a regra do quociente mantendo a outra variável constante.
Recordando a regra do quociente (aplicada a derivadas parciais): se
f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)},
então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\frac{\partial u}{\partial x}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial x}}{v^{2}}
e
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\frac{\partial u}{\partial y}\,v - u\,\frac{\partial v}{\partial y}}{v^{2}}.
Aqui u é o numerador e v é o denominador. Cada derivada parcial é feita tratando a outra variável como constante.
Também lembretes básicos (usaremos sem provar):
  • \frac{\partial}{\partial x}(x)=1, \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x.
  • \frac{\partial}{\partial x}(xy)=y (pois y é constante quando derivamos em relação a x).
  • Análogos para derivação em relação a y.

Passo 3

Definimos
u(x,y)=1-xy
e
v(x,y)=1+x^{2}+y^{2}.
Vamos calcular primeiro \frac{\partial f}{\partial x}.
Calcule as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1-xy)=-y,
porque \frac{\partial}{\partial x}(1)=0 e \frac{\partial}{\partial x}(-xy)=-y (pois y é constante).
\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(1+x^{2}+y^{2})=2x,
pois \frac{\partial}{\partial x}(x^{2})=2x e \frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0 ( y constante).
Agora aplique a regra do quociente para \frac{\partial f}{\partial x}:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{(-y)\,v - u\,(2x)}{v^{2}}.

Passo 4

Substituímos u e v na expressão e expandimos cuidadosamente:
Escrevendo v e u:
v=1+x^{2}+y^{2},\qquad u=1-xy.
Então
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{-y(1+x^{2}+y^{2})-(1-xy)2x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.
Expandindo os termos do numerador passo a passo:
-y(1+x^{2}+y^{2})=-y - x^{2}y - y^{3},
-(1-xy)2x = -2x + 2x^{2}y.
Somando-os:
\text{numerador} = (-y - x^{2}y - y^{3}) + (-2x + 2x^{2}y).
Agrupando termos semelhantes:
\text{numerador} = -2x + ( -y - y^{3} ) + ( -x^{2}y + 2x^{2}y ).
\text{numerador} = -2x - y - y^{3} + x^{2}y.
Podemos fatorar um pouco para ficar mais legível:
\text{numerador} = -2x + y\bigl(x^{2}-1-y^{2}\bigr).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x^{2}y - y - y^{3} - 2x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.
Outra forma equivalente e um pouco mais compacta é
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{y(x^{2}-1-y^{2})-2x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.

Passo 5

Agora vamos calcular \frac{\partial f}{\partial y} seguindo o mesmo roteiro.
Primeiro as derivadas parciais:
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(1-xy)=-x,
pois \frac{\partial}{\partial y}(-xy)=-x ( x tratado como constante).
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(1+x^{2}+y^{2})=2y.
Aplicando a regra do quociente para \frac{\partial f}{\partial y}:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{(-x)\,v - u\,(2y)}{v^{2}}.

Passo 6

Substituímos u e v e expandimos:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{-x(1+x^{2}+y^{2})-(1-xy)2y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.
Expandindo cada termo do numerador:
-x(1+x^{2}+y^{2})=-x - x^{3} - x y^{2},
-(1-xy)2y = -2y + 2xy^{2}.
Somando:
\text{numerador} = (-x - x^{3} - x y^{2}) + (-2y + 2x y^{2}).
Agrupando termos semelhantes:
\text{numerador} = -x - x^{3} -2y + (-x y^{2} + 2x y^{2}).
\text{numerador} = -x - x^{3} -2y + x y^{2}.
Podemos rearranjar/fatorar:
\text{numerador} = -2y + x(y^{2}-1-x^{2}).
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x y^{2} - x - x^{3} - 2y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.
Outra forma equivalente:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x(y^{2}-1-x^{2})-2y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{x^{2}y - y - y^{3} - 2x}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x y^{2} - x - x^{3} - 2y}{(1+x^{2}+y^{2})^{2}}

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