f(x, y)=\left\{\begin{array}{c} \frac{x^{2} \operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}} \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
a) Determine \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)
b) A função \frac{\partial f}{\partial y} é contínua em (0,0) ?
c) A função é diferenciável em (0,0) ?
Usamos a expressão do Passo 2. Note que, com t=r^{2}=x^{2}+y^{2},
t\cos t-\sin t = -\frac{1}{3}t^{3}+o(t^{3})\quad\text{quando }t\to0,
porque as séries de Taylor dão \sin t=t-\tfrac{t^{3}}{6}+o(t^{3}) e \cos t=1-\tfrac{t^{2}}{2}+o(t^{2}). Assim existe uma constante C>0 tal que, para r pequeno,
\bigl|t\cos t-\sin t\bigr|\le C\,t^{3}=C\,r^{6}.
Substituindo na fórmula de \partial f/\partial y obtemos, para r pequeno,
portanto f é diferenciável em (0,0) e o diferencial é a forma linear zero.
Resposta
a) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2x^{2}y\;\frac{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\cos\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)-\sin\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)}{\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{2}} para (x,y)\neq(0,0), e \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
b) Sim, \dfrac{\partial f}{\partial y} é contínua em (0,0).
c) Sim, f é diferenciável em (0,0) e \nabla f(0,0)=(0,0).