Calcule a integral de superfície de f(x, y, z) sobre a superfície S, onde:
f(x, y, z)=raizx^2+y^2 e S é o cilindro (x, y, z) in R^3 mid x^2+y^2=5,0 <= z <= 4.

Passo 1

O problema pede pra calcular a integral de superfície integral duplaS f(x,y,z),dS com f(x,y,z)=raizx^2+y^2 sobre o cilindro de equação x^2+y^2=5, altura de 4 (de z=0 a z=4). Isso envolve teoria de integrais de superfície e parametrização de superfícies.

Passo 2

A definição que vamos usar é que
integral duplaS f,dS = integral duplaD fl( r(u,v)r),l| rutimes rvr|,du,dv,
e precisamos parametrizar o cilindro. Como o raio é raiz5, escolhemos
r(theta,z) = (raiz5costheta,;raiz5sintheta,;z),
onde thetain[0,2pi] e zin[0,4].

Passo 3

Agora calculamos a função e o fator de distorção. Primeiro,
fl( r(theta,z)r)=raiz(raiz5costheta)^2+(raiz5sintheta)^2=raiz5
Em seguida, derivamos:
$$\mathbf r_\theta = (-\sqrt5\sin\theta,;\sqrt5\cos\theta,;0),\quad \mathbf r_z=(0,0,1).
$$
O produto vetorial tem norma
$$|\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z|=\sqrt5,
$$
pois é basicamente o raio do cilindro.

Passo 4

Portanto o elemento de superfície é
$$dS = |\mathbf r_\theta\times\mathbf r_z|,d\theta,dz = \sqrt5,d\theta,dz,
$$
e a integral vira
$$\iint_{S} f,dS = \int_{z=0}{4}\int_{\theta=0}{2\pi} \bigl(\sqrt5\bigr)\times\bigl(\sqrt5\bigr),d\theta,dz = \int_{0}{4}\int_{0}{2\pi}5,d\theta,dz.
$$

Passo 5

Basta então calcular
$$\int_{0}{4}\int_{0}{2\pi}5,d\theta,dz = 5\times(2\pi)\times4 = 40\pi.
$$

Resposta

40\pi

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