Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçăo.
z=x \operatorname{sen}(x y)

Passo 1

O enunciado nos dá a função
z = x \sin(xy)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e y. Vamos usar as regras de derivação de produto e de cadeia.

Passo 2

Para calcular \frac{\partial z}{\partial x}, note que z é produto de u=x e v=\sin(xy). A regra do produto diz
\frac{d}{dx}[u\,v] = u'\,v + u\,v'.
Aqui u'=1 e, pela regra da cadeia,
v' = \frac{d}{dx}\sin(xy) = \cos(xy)\,\frac{d}{dx}(xy) = \cos(xy)\,y.
Substituindo, fica
\frac{\partial z}{\partial x} = 1\cdot\sin(xy) + x\cdot(\cos(xy)\,y) = \sin(xy) + xy\cos(xy).

Passo 3

Para calcular \frac{\partial z}{\partial y}, tratamos x como constante e aplicamos a regra da cadeia a \sin(xy):
\frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{d}{dy}\sin(xy) = x \cdot \bigl(\cos(xy)\,\frac{d}{dy}(xy)\bigr) = x \cdot (\cos(xy)\,x) = x^2\cos(xy).

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \sin(xy) + xy\cos(xy), \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = x^2\cos(xy).

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