Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçăo.
z=\ln \left(x+t^{\prime}\right)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
z = \ln\bigl(x + t'\bigr),
que é uma função de duas variáveis x e t'. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada do logaritmo natural:
\frac{d}{du}\ln(u)=\frac1u.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, considere a composição z=\ln(u) com u=x+t'. Primeiro,
\frac{\partial u}{\partial x}=1.
Pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{d}{du}\ln(u)\,\frac{\partial u}{\partial x} =\frac1u\cdot1 =\frac1{x+t'}.

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t'}, usamos a mesma composição u=x+t'. Agora,
\frac{\partial u}{\partial t'}=1.
De novo, pela regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial t'} =\frac{d}{du}\ln(u)\,\frac{\partial u}{\partial t'} =\frac1u\cdot1 =\frac1{x+t'}.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{1}{x+t'} \displaystyle \frac{\partial z}{\partial t'}=\frac{1}{x+t'}

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