Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
,
e
. Ou seja, precisamos calcular
Observação sobre domínio: para escrever
como exponencial com logaritmo (que usaremos abaixo) é necessário
. Se
a expressão exige cuidado (potências com expoente real podem não estar bem definidas). Vou assumir
, que é o caso usualmente considerado.
Passo 2
Conceito rápido e plano: uma derivada parcial
é a taxa de variação de
quando só
varia e
ficam fixos. O mesmo vale para as outras.
Método prático (unificado): escrever
como exponencial com logaritmo torna a diferenciação direta:
Aqui usei a identidade
válida para
. A vantagem é que a derivada de
segue a regra da cadeia: se
então
. Vou aplicar isso para cada variável, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.
Passo 3
Derivando em relação a
.
Temos
. Defina
. Pela regra da cadeia,
Calcule
. Como
e
são constantes ao derivar em
,
Portanto
Agora volte para a forma original
para simplificar:
Uma forma equivalente, mais familiar quando o expoente é tratado como constante, é
pois
. Isso faz sentido também pela regra da potência com expoente constante:
quando
é constante (aqui
).
Passo 4
Derivando em relação a
.
Agora
e
são tratados como constantes. Use novamente
. Defina
. Pela regra da cadeia,
Calcule
. Como
e
são constantes aqui,
Logo
Interpretação: quando se diferencia em relação a um expoente, aparece o fator
multiplicando.
Passo 5
Derivando em relação a
.
É análogo ao caso anterior, trocando
por
. Trate
e
como constantes e use
. Defina
. Então
Como
, segue
Passo 6
Resumo da interpretação e dicas para prova:
- Para
lembre que é constante, então pode usar a regra da potência direta: multiplicar por e diminuir expoente em . - Para
e é útil lembrar que diferenciado em relação ao expoente traz um fator . - Sempre verifique o domínio: a manipulação com
exige .