Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
u=x^{y t}

Passo 1

O enunciado dá a função u=x^{y t} e pede as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x, y e t. Ou seja, precisamos calcular
\frac{\partial u}{\partial x},\qquad \frac{\partial u}{\partial y},\qquad \frac{\partial u}{\partial t}.
Observação sobre domínio: para escrever x^{y t} como exponencial com logaritmo (que usaremos abaixo) é necessário x>0. Se x\le 0 a expressão exige cuidado (potências com expoente real podem não estar bem definidas). Vou assumir x>0, que é o caso usualmente considerado.

Passo 2

Conceito rápido e plano: uma derivada parcial \dfrac{\partial u}{\partial x} é a taxa de variação de u quando só x varia e y,t ficam fixos. O mesmo vale para as outras.
Método prático (unificado): escrever u como exponencial com logaritmo torna a diferenciação direta:
u = x^{y t} = e^{y t \ln x}.
Aqui usei a identidade a^b = e^{b\ln a} válida para a>0. A vantagem é que a derivada de e^{\text{algo}} segue a regra da cadeia: se u=e^{v} então \dfrac{du}{d\text{(variável)}}=e^{v}\cdot \dfrac{dv}{d\text{(variável)}}áá. Vou aplicar isso para cada variável, lembrando que ao derivar em relação a uma variável as outras são tratadas como constantes.

Passo 3

Derivando em relação a x.
Temos u = e^{y t \ln x}. Defina v(x)=y t \ln x. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial u}{\partial x}=e^{v(x)}\cdot \frac{dv}{dx}.
Calcule \dfrac{dv}{dx}. Como y e t são constantes ao derivar em x,
\frac{dv}{dx}=y t\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=y t\cdot\frac{1}{x}.
Portanto
\frac{\partial u}{\partial x}=e^{y t \ln x}\cdot \frac{y t}{x}.
Agora volte para a forma original x^{y t}=e^{y t\ln x} para simplificar:
\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{y t}{x}\,x^{y t}.
Uma forma equivalente, mais familiar quando o expoente é tratado como constante, é
\frac{\partial u}{\partial x}=y t\,x^{y t-1},
pois \dfrac{x^{y t}}{x}=x^{y t-1}. Isso faz sentido também pela regra da potência com expoente constante: \dfrac{d}{dx}x^{a}=a x^{a-1} quando a é constante (aqui a=y t).

Passo 4

Derivando em relação a y.
Agora x e t são tratados como constantes. Use novamente u=e^{y t\ln x}. Defina w(y)=y t\ln x. Pela regra da cadeia,
\frac{\partial u}{\partial y}=e^{w(y)}\cdot \frac{dw}{dy}.
Calcule \dfrac{dw}{dy}. Como t e \ln x são constantes aqui,
\frac{dw}{dy}=t\ln x.
Logo
\frac{\partial u}{\partial y}=e^{y t\ln x}\cdot t\ln x = t\ln x\;x^{y t}.
Interpretação: quando se diferencia em relação a um expoente, aparece o fator \ln x multiplicando.

Passo 5

Derivando em relação a t.
É análogo ao caso anterior, trocando y por t. Trate x e y como constantes e use u=e^{y t\ln x}. Defina z(t)=y t\ln x. Então
\frac{\partial u}{\partial t}=e^{z(t)}\cdot \frac{dz}{dt}.
Como \dfrac{dz}{dt}=y\ln x, segue
\frac{\partial u}{\partial t}=e^{y t\ln x}\cdot y\ln x = y\ln x\;x^{y t}.

Passo 6

Resumo da interpretação e dicas para prova:
  • Para \dfrac{\partial}{\partial x} lembre que y t é constante, então pode usar a regra da potência direta: multiplicar por y t e diminuir expoente em 1.
  • Para \dfrac{\partial}{\partial y} e \dfrac{\partial}{\partial t} é útil lembrar que x^{(\cdot)} diferenciado em relação ao expoente traz um fator \ln x.
  • Sempre verifique o domínio: a manipulação com \ln x exige x>0.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}=y t\,x^{y t-1}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=t\ln x\;x^{y t}
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}=y\ln x\;x^{y t}

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