Uma fábrica preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após t semanas é:
Observe que a produção tende a 5000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa, pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas. Na primeira semana é destinada para os trabalhadores aprenderem a operar a nova linha de montagem e a produção é aproximadamente zero. Qual é a função que determina o número de calculadoras por semana?
Passo 1
O enunciado nos dá a taxa de produção (derivada do número total de calculadoras em função do tempo) como
onde
é o tempo em semanas a partir do início da operação da linha. O enunciado também diz que a primeira semana foi usada para treinamento e a produção inicial é aproximadamente zero; por isso vamos usar a condição natural de que, no instante inicial
, o número total de calculadoras produzidas é
.
A pergunta é: qual é a função
que dá o número total de calculadoras produzidas até a semana
(ou seja, a antiderivada de
)?
Passo 2
Explicando a ideia de integração de forma simples e passo a passo: para achar
a partir de
devemos integrar a taxa em relação a
. A integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes multiplicativas podem ser colocadas fora da integral. Também usaremos a regra de potência para integrar
:
- Regra de potência:
para . - Para
obtemos .
Vamos aplicar isso termo a termo.
Passo 3
Escrevendo a integral da taxa:
Separando termos e tirando constantes:
Calculando cada integral:
Prestando atenção ao sinal (a integral de
é negativa), juntamos os resultados e adicionamos a constante de integração
:
Passo 4
Agora usamos a condição inicial. Faz sentido assumir que no começo, antes de qualquer produção, o total produzido é zero, isto é
. Substituindo
na expressão geral:
Impondo
obtemos
Passo 5
Substituindo
em
temos a função particular que representa o número total de calculadoras produzidas até a semana
:
Podemos escrever de forma mais compacta, fatorando
:
Verificação rápida: derivando essa
recupera
, e
como desejado.