Uma fábrica preparou uma linha de montagem para fabricar uma nova calculadora. A taxa de produção dessas calculadoras após t semanas é:
\frac{d x}{d t}=5000\left(1-\frac{100}{(t+10)^{2}}\right) \quad \text { calculadoras } / \text { semana }
Observe que a produção tende a 5000 por semana à medida que passa o tempo, mas a produção inicial é baixa, pois os trabalhadores não estão familiarizados com as novas técnicas. Na primeira semana é destinada para os trabalhadores aprenderem a operar a nova linha de montagem e a produção é aproximadamente zero. Qual é a função que determina o número de calculadoras por semana?

Passo 1

O enunciado nos dá a taxa de produção (derivada do número total de calculadoras em função do tempo) como
\frac{dx}{dt}=5000\left(1-\frac{100}{(t+10)^{2}}\right)\quad\text{calculadoras/semana},
onde t é o tempo em semanas a partir do início da operação da linha. O enunciado também diz que a primeira semana foi usada para treinamento e a produção inicial é aproximadamente zero; por isso vamos usar a condição natural de que, no instante inicial t=0, o número total de calculadoras produzidas é x(0)=0.
A pergunta é: qual é a função x(t) que dá o número total de calculadoras produzidas até a semana t (ou seja, a antiderivada de \dfrac{dx}{dt})?

Passo 2

Explicando a ideia de integração de forma simples e passo a passo: para achar x(t) a partir de \dfrac{dx}{dt} devemos integrar a taxa em relação a t. A integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes multiplicativas podem ser colocadas fora da integral. Também usaremos a regra de potência para integrar (t+10)^{-2}:
  • Regra de potência: \displaystyle \int (t+10)^{n}\,dt=\frac{(t+10)^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1.
  • Para n=-2 obtemos \displaystyle \int (t+10)^{-2}\,dt=-(t+10)^{-1}+C.
Vamos aplicar isso termo a termo.

Passo 3

Escrevendo a integral da taxa:
x(t)=\int 5000\left(1-\frac{100}{(t+10)^{2}}\right)\,dt.
Separando termos e tirando constantes:
x(t)=5000\int 1\,dt-5000\cdot 100\int (t+10)^{-2}\,dt.
Calculando cada integral:
5000\int 1\,dt=5000t,
5000\cdot 100\int (t+10)^{-2}\,dt=500000\cdot\bigl[-(t+10)^{-1}\bigr]=-\,\frac{500000}{t+10}.
Prestando atenção ao sinal (a integral de (t+10)^{-2} é negativa), juntamos os resultados e adicionamos a constante de integração C:
x(t)=5000t+\frac{500000}{t+10}+C.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial. Faz sentido assumir que no começo, antes de qualquer produção, o total produzido é zero, isto é x(0)=0. Substituindo t=0 na expressão geral:
x(0)=5000\cdot 0+\frac{500000}{0+10}+C=\frac{500000}{10}+C=50000+C.
Impondo x(0)=0 obtemos
50000+C=0\quad\Rightarrow\quad C=-50000.

Passo 5

Substituindo C em x(t) temos a função particular que representa o número total de calculadoras produzidas até a semana t:
x(t)=5000t+\frac{500000}{t+10}-50000.
Podemos escrever de forma mais compacta, fatorando 5000:
x(t)=5000\!\left(t-10+\frac{100}{t+10}\right).
Verificação rápida: derivando essa x(t) recupera \dfrac{dx}{dt}=5000\left(1-\dfrac{100}{(t+10)^{2}}\right), e x(0)=0 como desejado.

Resposta

x(t)=5000t+\frac{500000}{t+10}-50000 = 5000\!\left(t-10+\frac{100}{t+10}\right)

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