Calcular as integrais:
\int(t+1)^{5}(t+5) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (t+1)^{5}(t+5)\,dt.
Informações dadas:
  • A função a integrar é (t+1)^{5}(t+5).
  • É uma integral indefinida; a resposta deve conter a constante de integração C.

Passo 2

Observação algébrica útil (sempre bom procurar simplificar antes de integrar): escrever t+5 como soma envolvendo t+1. Note que
t+5 = (t+1)+4.
Substituindo na integranda:
(t+1)^{5}(t+5) = (t+1)^{5}\big((t+1)+4\big) = (t+1)^{6} + 4(t+1)^{5}.
Essa reescrita transforma a integral num somatório de potências simples de uma mesma expressão, o que facilita muito a integração.

Passo 3

Agora escrevemos a integral usando a decomposição obtida:
\int (t+1)^{5}(t+5)\,dt = \int \big((t+1)^{6} + 4(t+1)^{5}\big)\,dt.
Integramos termo a termo:
\int \big((t+1)^{6} + 4(t+1)^{5}\big)\,dt = \int (t+1)^{6}\,dt + 4\int (t+1)^{5}\,dt.

Passo 4

Aplicamos a substituição linear padrão para tornar explícito o uso da regra da potência: defina
u = t+1.
Então
du = dt.
Com isso as integrais ficam
\int (t+1)^{6}\,dt = \int u^{6}\,du,\qquad \int (t+1)^{5}\,dt = \int u^{5}\,du.

Passo 5

Relembrando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando com n=6 e n=5:
\int u^{6}\,du = \frac{u^{7}}{7} + C_1, \qquad \int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6} + C_2.
Voltando à combinação anterior e somando as constantes numa única C,
\int (t+1)^{6}\,dt + 4\int (t+1)^{5}\,dt = \frac{u^{7}}{7} + 4\cdot\frac{u^{6}}{6} + C.

Passo 6

Simplificar o coeficiente 4\cdot\dfrac{1}{6}:
4\cdot\frac{1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}.
Substituindo u=t+1 de volta,
\frac{u^{7}}{7} + 4\cdot\frac{u^{6}}{6} + C = \frac{(t+1)^{7}}{7} + \frac{2(t+1)^{6}}{3} + C.

Resposta

\frac{(t+1)^{7}}{7}+\frac{2(t+1)^{6}}{3}+C

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