Calcular as integrais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - É uma integral indefinida; a resposta deve conter a constante de integração
.
Passo 2
Observação algébrica útil (sempre bom procurar simplificar antes de integrar): escrever
como soma envolvendo
. Note que
Substituindo na integranda:
Essa reescrita transforma a integral num somatório de potências simples de uma mesma expressão, o que facilita muito a integração.
Passo 3
Agora escrevemos a integral usando a decomposição obtida:
Integramos termo a termo:
Passo 4
Aplicamos a substituição linear padrão para tornar explícito o uso da regra da potência: defina
Então
Com isso as integrais ficam
Passo 5
Relembrando a regra da potência para integrais: para
,
Aplicando com
e
:
Voltando à combinação anterior e somando as constantes numa única
,
Passo 6
Simplificar o coeficiente
:
Substituindo
de volta,