Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
Passo 1
O enunciado dá as funções (todas dependentes de
):
A tarefa é achar
ou
. Vou calcular
(direto) e também fornecer uma expressão para
em termos de
e
(porque
não foi explicitado como função de
).
Passo 2
Relembrando regras básicas de diferenciação que usarei:
- A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de uma função linear
(com constante) é . - Regra do produto: se
e são funções, então
- Regra da cadeia: se
e então
No caso de
, tem-se
.
Passo 3
Calcular
a partir de
. Aplicando as regras:
- Derivada de
é . - Derivada de
em relação a é .
Portanto
Passo 4
Agora tratar
. Primeiro escrevo
de forma que fique claro de onde vem cada dependência:
Aqui
depende de
(já foi dado
) e
pode depender de
(não foi especificado), então o expoente
também depende de
.
Passo 5
Aplicar a regra do produto para
:
Passo 6
Calcular
a partir de
:
Passo 7
Calcular
usando regra da cadeia. Seja
. Então
Agora
usa a regra do produto (porque
pode depender de
):
Portanto
Passo 8
Substituir
e
em
:
Agora substituir
:
Fatorando
:
Passo 9
Interpretações úteis (curtas):
- Se
for constante, então e a fórmula simplifica para
- Se por acaso
for igual a (isto é, ), então e pode-se substituir nessa expressão para obter em termos somente de .