Use a Regra da Cadeia para achar d z / d t ou d w / d t.
w=x e^{v t}, \quad x=t^{2}, \quad y=1-t, \quad z=1+2 t

Passo 1

O enunciado dá as funções (todas dependentes de t):
w = x e^{v t},\qquad x = t^{2},\qquad y = 1 - t,\qquad z = 1 + 2t.
A tarefa é achar \dfrac{dz}{dt} ou \dfrac{dw}{dt}. Vou calcular \dfrac{dz}{dt} (direto) e também fornecer uma expressão para \dfrac{dw}{dt} em termos de v e \dfrac{dv}{dt} (porque v não foi explicitado como função de t).

Passo 2

Relembrando regras básicas de diferenciação que usarei:
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de uma função linear a t (com a constante) é a.
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, então
\frac{d}{dt}\bigl(u v\bigr)=\frac{du}{dt}\,v + u\,\frac{dv}{dt}.
  • Regra da cadeia: se F(u) e u(t) então
\frac{d}{dt}F(u(t))=F'(u(t))\cdot \frac{du}{dt}.
No caso de e^{u(t)}, tem-se \dfrac{d}{dt}e^{u(t)}=e^{u(t)}\cdot u'(t).

Passo 3

Calcular \dfrac{dz}{dt} a partir de z=1+2t. Aplicando as regras:
  • Derivada de 1 é 0.
  • Derivada de 2t em relação a t é 2.
    Portanto
\frac{dz}{dt}=0+2=2.

Passo 4

Agora tratar \dfrac{dw}{dt}. Primeiro escrevo w de forma que fique claro de onde vem cada dependência:
w(t)=x(t)\,e^{v(t)\,t}.
Aqui x depende de t (já foi dado x=t^{2}) e v pode depender de t (não foi especificado), então o expoente v(t)t também depende de t.

Passo 5

Aplicar a regra do produto para w=x\cdot e^{v t}:
\frac{dw}{dt}=\frac{dx}{dt}\,e^{v t}+x\,\frac{d}{dt}\bigl(e^{v t}\bigr).

Passo 6

Calcular \dfrac{dx}{dt} a partir de x=t^{2}:
\frac{dx}{dt}=2t.

Passo 7

Calcular \dfrac{d}{dt}\bigl(e^{v t}\bigr) usando regra da cadeia. Seja u(t)=v(t)\,t. Então
\frac{d}{dt}\bigl(e^{v t}\bigr)=e^{v t}\cdot\frac{d}{dt}(v t).
Agora \dfrac{d}{dt}(v t) usa a regra do produto (porque v pode depender de t):
\frac{d}{dt}(v t)=\frac{dv}{dt}\cdot t + v\cdot 1 = v + t\,\frac{dv}{dt}.
Portanto
\frac{d}{dt}\bigl(e^{v t}\bigr)=e^{v t}\bigl(v + t\,\frac{dv}{dt}\bigr).

Passo 8

Substituir \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{d}{dt}(e^{v t}) em \dfrac{dw}{dt}:
\frac{dw}{dt}=2t\,e^{v t}+x\,e^{v t}\bigl(v + t\,\frac{dv}{dt}\bigr).
Agora substituir x=t^{2}:
\frac{dw}{dt}=2t\,e^{v t}+t^{2}\,e^{v t}\bigl(v + t\,\frac{dv}{dt}\bigr).
Fatorando e^{v t}:
\frac{dw}{dt}=e^{v t}\Bigl(2t + t^{2}v + t^{3}\,\frac{dv}{dt}\Bigr).

Passo 9

Interpretações úteis (curtas):
  • Se v for constante, então \dfrac{dv}{dt}=0 e a fórmula simplifica para
\frac{dw}{dt}=e^{v t}\bigl(2t + t^{2}v\bigr).
  • Se por acaso v for igual a y (isto é, v=1-t), então \dfrac{dv}{dt}=-1 e pode-se substituir nessa expressão para obter \dfrac{dw}{dt} em termos somente de t.

Resposta

\dfrac{dz}{dt}=2
\dfrac{dw}{dt}=e^{v t}\Bigl(2t + t^{2}v + t^{3}\dfrac{dv}{dt}\Bigr)

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