Ache a área da superfície de revolução obtida girando-se o arco da catenária y=a \operatorname{cosh} (x / a) de \mathrm{x}=0 até \mathrm{x}=\mathrm{a}, em torno do eixo x . ( \mathrm{A}=\pi a^{2}+\frac{\pi a^{2}}{2} \operatorname{sinh} (2) u.a.)
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a catenária
y = a\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)
de x=0 até x=a em torno do eixo x. Para isso, vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução em torno do eixo x:
S = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} y \,\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^2}\,dx.
S =2\pi\int_{0}^{a}y\sqrt{1+(y')^2}\,dx =2\pi\int_{0}^{a}a\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\,\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\,dx =2\pi a\int_{0}^{a}\operatorname{cosh}^2\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\,dx.