Ache a área da superfície de revolução obtida girando-se o arco da catenária y=a \operatorname{cosh} (x / a) de \mathrm{x}=0 até \mathrm{x}=\mathrm{a}, em torno do eixo x . ( \mathrm{A}=\pi a^{2}+\frac{\pi a^{2}}{2} \operatorname{sinh} (2) u.a.)

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície obtida ao girar a catenária
y = a\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)
de x=0 até x=a em torno do eixo x. Para isso, vamos usar a fórmula de área de superfície de revolução em torno do eixo x:
S = 2\pi \int_{x_1}^{x_2} y \,\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^2}\,dx.

Passo 2

Calculamos a derivada de y:
y = a\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{d}{dx}\bigl(a\operatorname{cosh}(x/a)\bigr) = a\cdot\frac{1}{a}\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) = \operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).
Em seguida,
\sqrt{1+(y')^2} = \sqrt{1+\operatorname{sinh}^2(x/a)} = \operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).

Passo 3

Substituindo em S:
S =2\pi\int_{0}^{a}y\sqrt{1+(y')^2}\,dx =2\pi\int_{0}^{a}a\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\,\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\,dx =2\pi a\int_{0}^{a}\operatorname{cosh}^2\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\,dx.

Passo 4

Usamos a identidade
\operatorname{cosh}^2(u)=\tfrac{1+\operatorname{cosh}(2u)}{2},
com u = x/a. Então
\int_{0}^{a}\operatorname{cosh}^2\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\,dx =\int_{0}^{a}\frac{1+\operatorname{cosh}(2x/a)}{2}\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{a}1\,dx +\frac{1}{2}\int_{0}^{a}\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{2x}{a}\bigr)\,dx.
As primitivas são
\int_{0}^{a}1\,dx = a, \quad \int_{0}^{a}\operatorname{cosh}\bigl(\tfrac{2x}{a}\bigr)\,dx =\frac{a}{2}\operatorname{sinh}\bigl(\tfrac{2x}{a}\bigr)\Big|_{0}^{a} =\frac{a}{2}\operatorname{sinh}(2).
Logo
\int_{0}^{a}\operatorname{cosh}^2\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr)\,dx =\frac{a}{2} + \frac{1}{2}\cdot\frac{a}{2}\operatorname{sinh}(2) =\frac{a}{2} + \frac{a}{4}\operatorname{sinh}(2).

Passo 5

Voltando a S:
S =2\pi a\Bigl(\frac{a}{2}+\frac{a}{4}\operatorname{sinh}(2)\Bigr) = \pi a^2 + \frac{\pi a^2}{2}\operatorname{sinh}(2).

Resposta

S = \pi a^{2} + \frac{\pi a^{2}}{2}\operatorname{sinh}(2).

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