Determine as derivadas parciais de primeira ordem da funçăo.
f(x, y)=e^{-2 t} \cos \pi x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,t)=e^{-2t}\cos\bigl(\pi x\bigr).
O conteúdo aqui é derivação de produto de função composta: para \partial f/\partial x tratamos t como constante e derivamos em x; para \partial f/\partial t tratamos x como constante e derivamos em t.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}, vemos que e^{-2t} é constante em relação a x e \cos(\pi x) exige a regra da cadeia. Assim,
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{-2t}\,\frac{d}{dx}\bigl[\cos(\pi x)\bigr] = e^{-2t}\bigl[-\sin(\pi x)\bigr]\cdot\frac{d}{dx}(\pi x) = -\pi\,e^{-2t}\sin(\pi x).

Passo 3

Para calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t}, vemos que \cos(\pi x) é constante em relação a t e e^{-2t} exige a regra da cadeia. Logo,
\frac{\partial f}{\partial t} = \cos(\pi x)\,\frac{d}{dt}\bigl[e^{-2t}\bigr] = \cos(\pi x)\,e^{-2t}\cdot(-2) = -2\,e^{-2t}\cos(\pi x).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = -\pi\,e^{-2t}\sin(\pi x), \qquad \frac{\partial f}{\partial t} = -2\,e^{-2t}\cos(\pi x).

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