Determine as derivadas parciais de primeira ordem da função.
z=x y sen^-1(y z)

Passo 1

O enunciado dá a função
z = x,y,sen^-1(y,z)
onde sen^-1(u) é a função inversa do seno, ou seja arcsin(u). Aqui z está definido de forma implícita por
F(x,y,z) = z - x,y,arcsin(y,z) = 0
Queremos encontrar as derivadas parciais partial zpartial x e partial zpartial y usando diferenciação implícita.

Passo 2

Definimos
F(x,y,z) = z - x,y,arcsin(y,z)
Como F(x,y,z)=0, pela regra de diferenciação implícita:
Fx + Fz,zx = 0 e Fy + Fz,zy = 0,
de onde
zx = -FxFz, zy = -FyFz

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = partialpartial xl(z - x,y,arcsin(yz)r) = -,y,arcsin(yz),
Fy = partialpartial yl(z - x,y,arcsin(yz)r) = -,x,arcsin(yz);-;x,y;1raiz1-(yz)^2;(z),
Fz = partialpartial zl(z - x,y,arcsin(yz)r) = 1 ;-; x,y;1raiz1-(yz)^2;(y)

Passo 4

Usando zx = -Fx/Fz, obtemos
partial zpartial x = --,y,arcsin(yz) ,1 ;-; dfracx,y^2raiz1-(yz)^2, = y,arcsin(yz) ,1 - dfracx,y^2raiz1-(yz)^2,

Passo 5

Usando zy = -Fy/Fz, obtemos
partial zpartial y = --,x,arcsin(yz);-;x,y,dfraczraiz1-(yz)^2 ,1 ;-; dfracx,y^2raiz1-(yz)^2, = xl[arcsin(yz);+;dfracy,zraiz1-(yz)^2r] ,1 - dfracx,y^2raiz1-(yz)^2,

Resposta

boxed partial zpartial x &= y,arcsin(yz) 1 - dfracx,y^2raiz1-(yz)^2,[6pt] partial zpartial y &= xl[arcsin(yz) + dfracy,zraiz1-(yz)^2r] 1 - dfracx,y^2raiz1-(yz)^2 ]

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