Verifique se as funções são solução da equação de Laplace
f(x, y)=e^eta x sin (eta y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=e^eta xsin(eta y)
é solução da equação de Laplace em duas variáveis, ou seja, se
partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de primeira e depois de segunda ordem.
As derivadas primeiras são
partial fpartial x = eta,e^eta xsin(eta y), partial fpartial y = e^eta x,etacos(eta y)
As derivadas segundas resultam em
partial^2 fpartial x^2 = eta^2,e^eta xsin(eta y), partial^2 fpartial y^2 = e^eta x,(-eta^2)sin(eta y) = -eta^2,e^eta xsin(eta y)

Passo 3

Somando as segundas derivadas temos
partial^2 fpartial x^2 +partial^2 fpartial y^2 = eta^2,e^eta xsin(eta y) -eta^2,e^eta xsin(eta y) =0

Resposta

A função f(x,y)=e^eta xsin(eta y) satisfaz a equação de Laplace, pois De<a f=0.

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