Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f) f(x, y)=x e^y / x

Passo 1

A função é f(x,y)=x e^{y/x}. O conteúdo aqui são derivadas parciais de primeira ordem, e vamos precisar aplicar a regra do produto e a regra da cadeia para tratar o expoente y/x.

Passo 2

Para encontrar partial fpartial x, tratamos y como constante e usamos a regra do produto:
partial fpartial x=ddx(x)cdot e^y/x+xcdotddxl(e^y/xr)
Agora,
  • ddx(x)=1.
  • Para ddx(e^y/x) usamos a regra da cadeia: ddx(e^y/x)=e^y/xcdotddxl(tfracyxr)=e^y/xcdotl(-tfracyx^2r)
Substituindo,
partial fpartial x=e^y/x+xcdot e^y/xcdotl(-tfracyx^2r)=e^y/x-tfracyxe^y/x=e^y/xl(1-tfracyxr)

Passo 3

Para partial fpartial y, tratamos x como constante e derivamos só o e^y/x:
partial fpartial y=xcdotddy(e^y/x)=xcdot e^y/xcdotddyl(tfracyxr)=xcdot e^y/xcdottfrac1x=e^y/x

Resposta

As derivadas parciais são partial fpartial x=e^y/xl(1-tfracyxr) e partial fpartial y=e^y/x.

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