Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções a seguir.
f(x, y, z, t)=\operatorname{sec} (x+2 y+3 z+4 t)

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z,t) = \operatorname{sec}\bigl(x + 2y + 3z + 4t\bigr).
O conteúdo principal é a regra da cadeia combinada com a derivada de \operatorname{sec}(u), que é \operatorname{sec}(u)\tan(u).

Passo 2

Definimos a função interna
u(x,y,z,t) = x + 2y + 3z + 4t.
Logo, suas derivadas parciais são \frac{\partial u}{\partial x} = 1, \frac{\partial u}{\partial y} = 2, \frac{\partial u}{\partial z} = 3 e \frac{\partial u}{\partial t} = 4.

Passo 3

Calculamos a derivada de f em relação a u. Como f(u)=\operatorname{sec}(u), temos
\frac{df}{du} = \operatorname{sec}(u)\,\tan(u).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para cada variável:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{df}{du}\,\frac{\partial u}{\partial x} = \operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot 1,
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{df}{du}\,\frac{\partial u}{\partial y} = \operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot 2,
\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{df}{du}\,\frac{\partial u}{\partial z} = \operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot 3,
\frac{\partial f}{\partial t} = \frac{df}{du}\,\frac{\partial u}{\partial t} = \operatorname{sec}(u)\tan(u)\cdot 4,
onde u = x + 2y + 3z + 4t.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x} = \operatorname{sec}(x+2y+3z+4t)\,\tan(x+2y+3z+4t) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y} = 2\,\operatorname{sec}(x+2y+3z+4t)\,\tan(x+2y+3z+4t) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z} = 3\,\operatorname{sec}(x+2y+3z+4t)\,\tan(x+2y+3z+4t) \displaystyle \frac{\partial f}{\partial t} = 4\,\operatorname{sec}(x+2y+3z+4t)\,\tan(x+2y+3z+4t)

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