Relembre as definições dos principais espaços vetoriais apresentados em sala. O espaço dos vetores
e
. O espaço das matrizes
. O espaço dos polinômios
. E o espaço das funções
.
Passo 1
O pedido é: relembrar as definições (ou seja: o que são os elementos, quais são as operações e algumas propriedades importantes) dos seguintes espaços vetoriais:
-
e, em geral, . - O espaço das matrizes
. - O espaço dos polinômios
(tipicamente polinômios de grau menor ou igual a ). - O espaço das funções
(todas as funções de um conjunto em ).
Informações úteis dadas implicitamente pelo enunciado:
- Trabalhamos sobre o corpo dos reais
(ou seja, escalares são números reais). - Quer-se a definição concreta (o que são os vetores/elementos, como somar, como multiplicar por escalar), além de informações práticas como base e dimensão quando for pertinente.
Passo 2
Antes de entrar em cada exemplo, relembre a definição geral de espaço vetorial (muito importante para a prova). Um conjunto
é um espaço vetorial sobre
se vier equipado com duas operações:
- adição
, - multiplicação por escalar
,
e satisfizer as oito propriedades axiomáticas (vou escrevê-las e explicar cada uma brevemente):
Explicação rápida e prática: na prova frequentemente não é preciso verificar todos os axiomas do zero quando o espaço é um caso padrão (por exemplo
ou
): costuma-se citar que as operações são componentes-ponto e que os axiomas seguem das propriedades dos reais. Mas é importante saber o que cada axioma significa — por exemplo, o axioma (A3) garante que sempre há um vetor nulo e (A4) que sempre há inverso aditivo.
Passo 3
O espaço
.
- Elementos: vetores coluna com
componentes reais. Um elemento é escrito como
onde cada
.
- Operações:
- Adição: soma componente a componente:
- Multiplicação por escalar: também componente a componente:
- Vetor nulo:
. - Inverso aditivo:
. - Base canônica e dimensão: a base padrão é
onde
Qualquer vetor
se escreve unicamente como combinação linear
Assim a dimensão de
é
.
Passo 4
Casos concretos:
.
-
: vetores . Geometricamente é um plano; base canônica ; dimensão . -
: vetores . Espaço usual do físico/geômetra; base canônica ; dimensão . -
: vetores ; pouco visualizável geometricamente, mas as regras operacionais são as mesmas; dimensão .
Exemplo didático (como fazer na prova): para mostrar que três vetores em
são linearmente independentes, monte a matriz cujas colunas são esses vetores e mostre que o determinante é não nulo (ou que o posto é
). Se o determinante for zero, há dependência linear.
Passo 5
O espaço das matrizes
(às vezes escrito
).
- Elementos: todas as matrizes
com entradas reais. Uma matriz tem entradas com e . - Operações:
- Soma: soma entrada a entrada:
- Multiplicação por escalar:
- Vetor nulo: matriz nula
com todas as entradas zero. - Base e dimensão: uma base natural é formada pelas matrizes
que têm na posição e nas demais. Há tais matrizes, portanto
- Exemplo de uso: para escrever uma matriz qualquer
como combinação linear da base,
Passo 6
O espaço dos polinômios
.
- Elementos: todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a
. Um elemento tem a forma
com
.
- Operações:
- Soma: soma coeficiente a coeficiente (resultando em grau no máximo
). - Multiplicação por escalar: multiplica todos os coeficientes por esse escalar.
- Soma: soma coeficiente a coeficiente (resultando em grau no máximo
- Vetor nulo: o polinômio nulo
(todos os coeficientes zero). - Base canônica e dimensão:
é uma base; portanto
- Observação importante de prova: o conjunto de polinômios de grau exatamente igual a
não é subespaço (soma de dois polinômios de grau pode ter grau menor), já (grau ) é subespaço.
Passo 7
O espaço das funções
- Se
), então
é infinito-dimensional. - Exemplos de subespaços importantes: espaço das funções contínuas
, espaço das funções polinomiais visto como subespaço das funções em , etc.
Passo 8
Como verificar rapidamente (dica de prova) que um conjunto é subespaço vetorial.
- Regra prática (checklist rápido que vale para a prova):
- Verificar que o conjunto não está vazio (tipicamente mostrar que o vetor zero pertence a ele).
- Fechamento sob adição: se
e pertencem ao conjunto então pertence. - Fechamento sob multiplicação por escalar: se
pertence e então pertence.
- Exemplo aplicado: mostrar que
é subespaço de : o polinômio zero pertence; soma de dois polinômios de grau tem grau ; multiplicação por escalar também preserva grau .
Passo 9
Conceitos úteis e exemplos práticos para a prova (como usar em exercícios).
- Combinação linear: dado um conjunto de vetores
em um espaço , qualquer vetor da forma
é uma combinação linear. Para
isso é componente a componente; para
isso significa combinar coeficientes; para
significa combinar as imagens ponto a ponto.
- Independência linear:
é linearmente independente se a igualdade
implica
.
- Base e dimensão: já vimos bases naturais para cada espaço padrão (vetores canônicos em
, em , em , funções delta em quando é finito). - Pequeno truque computacional: para encontrar coordenadas em relação à base canônica, basta ler os coeficientes (componentes, entradas, coeficientes do polinômio, valores nos pontos em
).
Passo 10
Pequenas provas rápidas que caem na prova (e como apresentá-las):
- Provar que
: apresente os vetores , mostre que geram (qualquer matriz é soma ) e que são independentes (se combinação linear deles dá zero, cada coeficiente deve ser zero olhando entrada por entrada). - Provar que
é base de : mostrar que geram (obviamente) e são independentes (um polinômio com todos coeficientes nulos é o polinômio zero, logo os coeficientes na combinação devem ser zero). - Quando ver
ou , muitas vezes basta “argumentar por componentes”: as igualdades em viram igualdades entre coordenadas.
Passo 11
Recapitulando de forma prática e com incentivo: decorou-se a forma dos elementos (tuplas, matrizes, polinômios, funções) e que as operações são sempre ponto-a-ponto (componentes, entradas, coeficientes, valores). Para a prova, quando pedirem “mostre que é espaço vetorial” ou “encontre dimensão/base”, use as bases canônicas que listei — isso resolve a maioria dos exercícios rapidamente. Vai dar certo — respira, faz um exercício de cada vez e lembra: padrão = operações ponto a ponto e base canônica.