Relembre as definições dos principais espaços vetoriais apresentados em sala. O espaço dos vetores \mathbb{R}^{2}, \mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{4} e \mathbb{R}^{n}. O espaço das matrizes M(n, m). O espaço dos polinômios \mathcal{P}_{n}. E o espaço das funções \mathcal{F}(X, \mathbb{R}).

Passo 1

O pedido é: relembrar as definições (ou seja: o que são os elementos, quais são as operações e algumas propriedades importantes) dos seguintes espaços vetoriais:
  • \mathbb{R}^{2},\; \mathbb{R}^{3},\; \mathbb{R}^{4} e, em geral, \mathbb{R}^{n}.
  • O espaço das matrizes M(n,m).
  • O espaço dos polinômios \mathcal{P}_{n} (tipicamente polinômios de grau menor ou igual a n).
  • O espaço das funções \mathcal{F}(X,\mathbb{R}) (todas as funções de um conjunto X em \mathbb{R}).
Informações úteis dadas implicitamente pelo enunciado:
  • Trabalhamos sobre o corpo dos reais \mathbb{R} (ou seja, escalares são números reais).
  • Quer-se a definição concreta (o que são os vetores/elementos, como somar, como multiplicar por escalar), além de informações práticas como base e dimensão quando for pertinente.

Passo 2

Antes de entrar em cada exemplo, relembre a definição geral de espaço vetorial (muito importante para a prova). Um conjunto V é um espaço vetorial sobre \mathbb{R} se vier equipado com duas operações:
  • adição +\colon V\times V\to V,
  • multiplicação por escalar \cdot\colon \mathbb{R}\times V\to V,
e satisfizer as oito propriedades axiomáticas (vou escrevê-las e explicar cada uma brevemente):
\begin{aligned} &\text{(A1) Comutatividade: } u+v = v+u\quad\text{para todo }u,v\in V.\\\ &\text{(A2) Associatividade da adição: } (u+v)+w = u+(v+w).\\\ &\text{(A3) Elemento neutro aditivo: existe }0\in V\text{ tal que }u+0=u.\\\ &\text{(A4) Inverso aditivo: para cada }u\in V\text{ existe }-u\in V\text{ com }u+(-u)=0.\\\ &\text{(M1) Compatibilidade escalar: } a(bu)=(ab)u\quad\text{para }a,b\in\mathbb{R},\;u\in V.\\\ &\text{(M2) Unidade escalar: }1\cdot u = u\quad\text{para todo }u\in V.\\\ &\text{(D1) Distributividade escalar-soma vetorial: } a(u+v)=au+av.\\\ &\text{(D2) Distributividade soma-escalares: } (a+b)u=au+bu. \end{aligned}çã
Explicação rápida e prática: na prova frequentemente não é preciso verificar todos os axiomas do zero quando o espaço é um caso padrão (por exemplo \mathbb{R}^n ou M(n,m)): costuma-se citar que as operações são componentes-ponto e que os axiomas seguem das propriedades dos reais. Mas é importante saber o que cada axioma significa — por exemplo, o axioma (A3) garante que sempre há um vetor nulo e (A4) que sempre há inverso aditivo.

Passo 3

O espaço \mathbb{R}^{n}.
  • Elementos: vetores coluna com n componentes reais. Um elemento v\in\mathbb{R}^{n} é escrito como
v = (v_{1},v_{2},\dots,v_{n}),
onde cada v_{i}\in\mathbb{R}.
  • Operações:
    • Adição: soma componente a componente:
    (u_{1},\dots,u_{n})+(v_{1},\dots,v_{n})=(u_{1}+v_{1},\dots,u_{n}+v_{n}).
    • Multiplicação por escalar: também componente a componente:
    a\cdot (v_{1},\dots,v_{n})=(a v_{1},\dots,a v_{n}),\quad a\in\mathbb{R}.
  • Vetor nulo: \,0 = (0,0,\dots,0).
  • Inverso aditivo: -v = (-v_{1},\dots,-v_{n}).
  • Base canônica e dimensão: a base padrão é \{e_{1},\dots,e_{n}\} onde
e_{1}=(1,0,\dots,0),\; e_{2}=(0,1,0,\dots,0),\; \dots,\; e_{n}=(0,\dots,0,1).
Qualquer vetor v se escreve unicamente como combinação linear
v = v_{1}e_{1} + v_{2}e_{2} + \cdots + v_{n}e_{n}.
Assim a dimensão de \mathbb{R}^{n} é n.

Passo 4

Casos concretos: \mathbb{R}^{2},\; \mathbb{R}^{3},\; \mathbb{R}^{4}.
  • \mathbb{R}^{2}: vetores (x,y). Geometricamente é um plano; base canônica \{(1,0),(0,1)\}; dimensão 2.
  • \mathbb{R}^{3}: vetores (x,y,z). Espaço usual do físico/geômetra; base canônica \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}; dimensão 3.
  • \mathbb{R}^{4}: vetores (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}); pouco visualizável geometricamente, mas as regras operacionais são as mesmas; dimensão 4.
Exemplo didático (como fazer na prova): para mostrar que três vetores em \mathbb{R}^{3} são linearmente independentes, monte a matriz cujas colunas são esses vetores e mostre que o determinante é não nulo (ou que o posto é 3). Se o determinante for zero, há dependência linear.

Passo 5

O espaço das matrizes M(n,m) (às vezes escrito M_{n\times m}(\mathbb{R})).
  • Elementos: todas as matrizes n\times m com entradas reais. Uma matriz A\in M(n,m) tem entradas a_{ij} com i=1,\dots,n e j=1,\dots,m.
  • Operações:
    • Soma: soma entrada a entrada:
    (A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.
    • Multiplicação por escalar:
    (cA)_{ij} = c\cdot a_{ij},\quad c\in\mathbb{R}.
  • Vetor nulo: matriz nula 0 com todas as entradas zero.
  • Base e dimensão: uma base natural é formada pelas matrizes E_{ij} que têm 1 na posição (i,j) e 0 nas demais. Há n\cdot m tais matrizes, portanto
\dim M(n,m) = n\cdot m.
  • Exemplo de uso: para escrever uma matriz qualquer A como combinação linear da base,
A = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} a_{ij} E_{ij}.

Passo 6

O espaço dos polinômios \mathcal{P}_{n}.
  • Elementos: todos os polinômios com coeficientes reais de grau menor ou igual a n. Um elemento p\in\mathcal{P}_{n} tem a forma
p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + \cdots + a_{n}x^{n},
com a_{k}\in\mathbb{R}.
  • Operações:
    • Soma: soma coeficiente a coeficiente (resultando em grau no máximo n).
    • Multiplicação por escalar: multiplica todos os coeficientes por esse escalar.
  • Vetor nulo: o polinômio nulo 0(x)\equiv 0 (todos os coeficientes zero).
  • Base canônica e dimensão: \{1,x,x^{2},\dots,x^{n}\} é uma base; portanto
\dim \mathcal{P}_{n} = n+1.
  • Observação importante de prova: o conjunto de polinômios de grau exatamente igual a n não é subespaço (soma de dois polinômios de grau n pode ter grau menor), já \mathcal{P}_{n} (grau \le n) é subespaço.

Passo 7

O espaço das funções \mathcal{F}(X,\mathbb{R})\). - Elementos: todas as funções \(f\colon X\to\mathbb{R}\), onde \(X\) é um conjunto qualquer (pode ser finito ou infinito). - Operações (ponto a ponto): - Soma: \((f+g)(x) = f(x) + g(x)\) para todo \(x\in X\). - Multiplicação por escalar: \((a f)(x) = a\cdot f(x)\) para todo \(x\in X\) e \(a\in\mathbb{R}\). - Vetor nulo: função zero \(0_X\) dada por \(0_X(x)=0\) para todo \(x\in X\). - Dimensão: - Se \(X\) é finito com \(|X|=k\), então \(\mathcal{F}(X,\mathbb{R})\) tem dimensão \(k\). Uma base natural é dada pelas funções indicadoras (ou "delta") \(\delta_{x_{0}}\) definidas por \[\delta_{x_{0}}(x)=\begin{cases}1,& x=x_{0},\\\\ 0,& x\ne x_{0}.\end{cases}
  • Se X\] é infinito (por exemplo \(X=\mathbb{R}), então \mathcal{F}(X,\mathbb{R}) é infinito-dimensional.
  • Exemplos de subespaços importantes: espaço das funções contínuas C([a,b])\subset \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R}), espaço das funções polinomiais visto como subespaço das funções em \mathbb{R}, etc.

Passo 8

Como verificar rapidamente (dica de prova) que um conjunto é subespaço vetorial.
  • Regra prática (checklist rápido que vale para a prova):
    1. Verificar que o conjunto não está vazio (tipicamente mostrar que o vetor zero pertence a ele).
    2. Fechamento sob adição: se u e v pertencem ao conjunto então u+v pertence.
    3. Fechamento sob multiplicação por escalar: se u pertence e a\in\mathbb{R} então a u pertence.
  • Exemplo aplicado: mostrar que \mathcal{P}_{n} é subespaço de \mathcal{F}(\mathbb{R},\mathbb{R}): o polinômio zero pertence; soma de dois polinômios de grau \le n tem grau \le n; multiplicação por escalar também preserva grau \le n.

Passo 9

Conceitos úteis e exemplos práticos para a prova (como usar em exercícios).
  • Combinação linear: dado um conjunto de vetores \{v_{1},\dots,v_{k}\} em um espaço V, qualquer vetor da forma
a_{1}v_{1} + \cdots + a_{k}v_{k},\quad a_{i}\in\mathbb{R},
é uma combinação linear. Para M(n,m) isso é componente a componente; para \mathcal{P}_{n} isso significa combinar coeficientes; para \mathcal{F}(X,\mathbb{R}) significa combinar as imagens ponto a ponto.
  • Independência linear: \{v_{1},\dots,v_{k}\} é linearmente independente se a igualdade
a_{1}v_{1}+\cdots+a_{k}v_{k}=0
implica a_{1}=\cdots=a_{k}=0.
  • Base e dimensão: já vimos bases naturais para cada espaço padrão (vetores canônicos em \mathbb{R}^{n}, E_{ij} em M(n,m), \{1,x,\dots,x^{n}\} em \mathcal{P}_{n}, funções delta em \mathcal{F}(X,\mathbb{R}) quando X é finito).
  • Pequeno truque computacional: para encontrar coordenadas em relação à base canônica, basta ler os coeficientes (componentes, entradas, coeficientes do polinômio, valores nos pontos em X).

Passo 10

Pequenas provas rápidas que caem na prova (e como apresentá-las):
  • Provar que \dim M(n,m)=nm: apresente os nm vetores E_{ij}, mostre que geram M(n,m) (qualquer matriz é soma \sum a_{ij}E_{ij}) e que são independentes (se combinação linear deles dá zero, cada coeficiente a_{ij} deve ser zero olhando entrada por entrada).
  • Provar que \{1,x,\dots,x^{n}\} é base de \mathcal{P}_{n}: mostrar que geram (obviamente) e são independentes (um polinômio com todos coeficientes nulos é o polinômio zero, logo os coeficientes na combinação devem ser zero).
  • Quando ver \mathbb{R}^{n} ou M(n,m), muitas vezes basta “argumentar por componentes”: as igualdades em V viram igualdades entre coordenadas.

Passo 11

Recapitulando de forma prática e com incentivo: decorou-se a forma dos elementos (tuplas, matrizes, polinômios, funções) e que as operações são sempre ponto-a-ponto (componentes, entradas, coeficientes, valores). Para a prova, quando pedirem “mostre que é espaço vetorial” ou “encontre dimensão/base”, use as bases canônicas que listei — isso resolve a maioria dos exercícios rapidamente. Vai dar certo — respira, faz um exercício de cada vez e lembra: padrão = operações ponto a ponto e base canônica.

Resposta

\mathbb{R}^{n} = \{(v_{1},\dots,v_{n}) \mid v_{i}\in\mathbb{R}\} com adição e multiplicação por escalar componente a componente; base canônica \{e_{1},\dots,e_{n}\}; \dim \mathbb{R}^{n}=n.
M(n,m)=\{A=(a_{ij})\mid a_{ij}\in\mathbb{R},\\ i=1,\dots,n,\\ j=1,\dots,m\} com soma e escalar multiplicando entradas; base \{E_{ij}\} (1 em (i,j), 0 nas outras); \dim M(n,m)=n\cdot m.
\mathcal{P}_{n}=\{a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{n}x^{n}\mid a_{k}\in\mathbb{R}\} com soma e escalar em coeficientes; base \{1,x,\dots,x^{n}\}; \dim \mathcal{P}_{n}=n+1.
\mathcal{F}(X,\mathbb{R})=\{f\colon X\to\mathbb{R}\} com operações ponto a ponto (f+g)(x)=f(x)+g(x),\\ (a f)(x)=a f(x); vetor nulo 0_X; se |X|=k<\infty então \dim \mathcal{F}(X,\mathbb{R})=k com base formada pelas funções indicadoras \{\delta_{x}\}_{x\in X}.

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