Verifique se as funções dadas são contínuas no ponto P indicado
f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array} \quad P=(0,0)\right.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei tudo do enunciado):
  • A função é definida por partes: f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
  • O ponto em que devemos verificar continuidade é P=(0,0).
  • O que se pede: verificar se f é contínua em P. Ou seja, precisamos saber se \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)existe e é igual a f(0,0)=0.]

Passo 2

Definição e escolha do método (explicação didática):
  • Definição prática de continuidade em \mathbb{R}^2: f é contínua em P se e somente se \lim_{(x,y)\to P} f(x,y)=f(P).Em linguagem alternativa: para qualquer sequência (x_n,y_n)\to P tem-se f(x_n,y_n)\to f(P); ou, na linguagem \varepsilon- \delta: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que \|(x,y)-P\|<\delta implica |f(x,y)-f(P)|<\varepsilon.
  • Escolha do método: aqui a expressão tem x^{2}+y^{2} no denominador, então é muito natural usar coordenadas polares. Isso costuma simplificar funções que dependem de x^{2}+y^{2}, porque podemos escrever x e y em termos de r e \theta e ver como o comportamento depende de r\to0. Outra alternativa seria testar limites por caminhos, mas polar é mais direto e elegante quando dá certo.

Passo 3

Troca para coordenadas polares e simplificação (passo a passo):
  • Em coordenadas polares usamos x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0 e \theta qualquer.
  • Para (x,y)\neq(0,0) a função fica (substituindo): f(x,y)=\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{3 (r\cos\theta)^{2}(r\sin\theta)}{r^{2}} =\frac{3 r^{3}\cos^{2}\theta\sin\theta}{r^{2}}.
  • Cancelando r^{2} (porque r>0 nesta expressão), obtemos a forma simplificada f(r,\theta)=3r\cos^{2}\theta\sin\theta,\qquad r>0.

Passo 4

Aplicação do teorema do aperto (squeeze theorem) para obter o limite:
  • Primeiro observe o valor absoluto: |f(r,\theta)|=|3r\cos^{2}\theta\sin\theta| =3r\,|\cos^{2}\theta\sin\theta|.
  • Como |\cos\theta|\le 1 e |\sin\theta|\le 1, tem-se |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le 1. Logo |f(r,\theta)|\le 3r.
  • Agora, quando (x,y)\to(0,0) corresponde a r\to 0^{+}. Como 3r\to 0 quando r\to 0, pelo teorema do aperto (se uma função está presa entre -3r e 3r e estes tendem a 0, então a função também tende a 0) obtemos \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.

Passo 5

Interpretação do resultado e observação didática:
  • Encontramos que o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) é 0.
  • Comentário pedagógico rápido para fixar a ideia: a expressão em polares deixou explícito um fator r multiplicando uma parte dependente só de \theta. Esse fator r força a função a zero independentemente de \theta. Em contraste, se após a mudança para polares a expressão dependesse só de \theta (sem fator r que vá a zero), o limite poderia depender do caminho e então não existiria. Por exemplo, a função g(x,y)=\frac{xy}{x^{2}+y^{2}}em polares fica g(r,\theta)=\cos\theta\sin\theta, que não depende de r e, portanto, o limite quando r\to0 depende de \theta e não existe.

Resposta

A função é contínua em P=(0,0).

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