Determine as derivadas parciais de primeira ordem das funções: w=e^v /(u+v^2)

Passo 1

O problema pede as derivadas parciais de primeira ordem de w = e^v/(u+v^2). Isso é conteúdo de funções de várias variáveis, e vamos precisar aplicar a regra da cadeia junto com a regra do quociente.

Passo 2

Definimos f(u,v) = vu+v^2 de modo que w = e^f(u,v). Pela regra da cadeia temos
partial wpartial u = e^f(u,v) cdot partial fpartial u,
partial wpartial v = e^f(u,v) cdot partial fpartial v

Passo 3

Agora calculamos a derivada de f em relação a u. Como v é tratado como constante,
partial fpartial u = partialpartial ul(vu+v^2r) = -v(u+v^2)^2
Logo,
partial wpartial u = e^v/(u+v^2) cdot l(-v(u+v^2)^2r)

Passo 4

Agora calculamos a derivada de f em relação a v. Usamos a regra do quociente:
partial fpartial v = (u+v^2)cdot 1 - vcdot 2v(u+v^2)^2 = u+v^2 - 2v^2(u+v^2)^2 = u - v^2(u+v^2)^2
Então
partial wpartial v = e^v/(u+v^2) cdot u - v^2(u+v^2)^2

Resposta

(\partial w/\partial u) = -\frac{v}{(u+v2)2},e{\frac{v}{u+v2}}, \quad (\partial w/\partial v) = \frac{u - v2}{(u+v2)2},e{\frac{v}{u+v^2}}

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