Temos que K é dita a curvatura Gaussiana e H é dita a curvatura média de uma superfície regular.
Considere a esfera de raio a>0 dada por
varphi(u, v)=(a sen v cos u, a sen v sen u, a cos v)
onde u in R e v in(0, pi). Calcule a curvatura Gaussiana da esfera.

Passo 1

A gente tem uma esfera de raio a>0 dada pela parametrização varphi(u,v)=(asin vcos u,,asin vsin u,,acos v). O objetivo é calcular a curvatura Gaussiana K dessa superfície. Para isso vamos usar as primeiras e segundas formas fundamentais e a fórmula
K=L,N - M^2E,G - F^2,
onde E,F,G são os coeficientes da primeira forma fundamental e L,M,N os da segunda.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais e os coeficientes da primeira forma fundamental:
varphiu = (-asin vsin u,;asin vcos u,;0),
varphiv = (acos vcos u,;acos vsin u,;-asin v)
Em seguida,
E=lang<=varphiu,varphiurang<= = a^2sin^2 v,
F=lang<=varphiu,varphivrang<= = 0,
G=lang<=varphiv,varphivrang<= = a^2

Passo 3

Agora montamos o vetor normal unitário e as derivadas segundas para a segunda forma fundamental. Como a esfera é centrada na origem, temos
n = varphi|varphi| = (sin vcos u,;sin vsin u,;cos v)
As derivadas segundas são
varphiuu = (-asin vcos u,,-asin vsin u,,0),
varphiuv = (-acos vsin u,,acos vcos u,,0),
varphivv = (-asin vcos u,,-asin vsin u,,-acos v)
Logo,
L=lang<=varphiuu,nrang<= = -asin^2 v, M=lang<=varphiuv,nrang<= = 0, N=lang<=varphivv,nrang<= = -a

Passo 4

Por fim, aplicamos a fórmula da curvatura Gaussiana e simplificamos:
K = L,N - M^2E,G - F^2 = (-asin^2 v)(-a) - 0(a^2sin^2 v)(a^2) - 0 = a^2sin^2 va^4sin^2 v = 1a^2

Resposta

K = 1a^2

Exercícios relacionados