Temos que
é dita a curvatura Gaussiana e
é dita a curvatura média de uma superfície regular.
Considere a esfera de raio
dada por
onde
e
. Calcule a curvatura Gaussiana da esfera.
Considere a esfera de raio
Passo 1
A gente tem uma esfera de raio
dada pela parametrização
. O objetivo é calcular a curvatura Gaussiana
dessa superfície. Para isso vamos usar as primeiras e segundas formas fundamentais e a fórmula
onde
são os coeficientes da primeira forma fundamental e
os da segunda.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais e os coeficientes da primeira forma fundamental:
Em seguida,
Passo 3
Agora montamos o vetor normal unitário e as derivadas segundas para a segunda forma fundamental. Como a esfera é centrada na origem, temos
As derivadas segundas são
Logo,
Passo 4
Por fim, aplicamos a fórmula da curvatura Gaussiana e simplificamos: