Determine as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y para a função abaixo:
f(x, t)=arctg(x raizt)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a função f(x,t)=arctanl(xraiztr). O conteúdo aqui é derivada parcial de primeira ordem. Vamos usar a regra da cadeia para derivada de arctan(u) e as derivadas de u=xraizt em relação a x e a t.

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, trate t como constante. Defina u = xraizt. A derivada de arctan(u) em relação a u é 1/(1+u^2). Além disso,
partial upartial x = raizt

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia:
partial fpartial x = 11+u^2cdotpartial upartial x = raizt1+(xraizt)^2 = raizt1+x^2 t

Passo 4

Para calcular partial fpartial t, trate x como constante e use a mesma definição u=xraizt. Primeiro,
partial upartial t = xcdot12raizt = x2raizt

Passo 5

Então, pela regra da cadeia:
partial fpartial t = 11+u^2cdotpartial upartial t = 11+(xraizt)^2cdotx2raizt = x2raizt,(1+x^2 t)

Resposta

partial fpartial x = raizt1+x^2 t, partial fpartial t = x2raizt,(1+x^2 t)

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