Determine as derivadas parciais de primeira ordem partial fpartial x e partial fpartial y para a função abaixo:
u=t e^wt

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de u em função de t e w, ou seja, partial u/partial t e partial u/partial w. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para a exponencial.

Passo 2

Para calcular partial u/partial t, note que u(t,w)=t,e^w/t. Usamos a regra do produto:
partial upartial t=ddtl(tr),e^w/t+t,ddtl(e^w/tr)
O primeiro termo é e^w/t. No segundo, pela regra da cadeia,
ddtl(e^w/tr)=e^w/tcdotddtl(wtr)=e^w/tcdotl(-wt^2r)
Assim,
partial upartial t=e^w/t+t,e^w/tl(-wt^2r)=e^w/tl(1-wtr)

Passo 3

Para calcular partial u/partial w, t é constante, então
partial upartial w=tcdotddwl(e^w/tr)=t,e^w/tcdot1t=e^w/t

Resposta

partial upartial t=e^w/tl(1-wtr) e partial upartial w=e^w/t.

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