Calcule as seguintes integrais usando o método de substituição:
integral0^1 e^x sen(e^x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida de 0 a 1 de e^xsen(e^x),dx usando o método de substituição. O conteúdo aqui é integração de função composta, onde vamos precisar reconhecer uma parte cuja derivada apareça multiplicando a função.

Passo 2

Definimos a substituição u = e^x. Derivando ambos os lados, obtemos du = e^x,dx, permitindo substituir e^x,dx por du. Também ajustamos os limites: quando x=0, u=e^0=1; quando x=1, u=e^1=e.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
integral0^1 e^xsen(e^x),dx = integral1^e sen(u),du
Agora basta integrar sen(u) e aplicar os limites:
integral1^e sen(u),du = [-cos(u)]1^e = -cos(e) + cos(1)

Resposta

cos(1) - cos(e)

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