Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a x e em relação a y das funções abaixo. Simplifique as expressões sempre que possível.
f(x, y)=x^{2} y^{3}+3 x y-1;

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}y^{3}+3xy-1 e pede duas coisas:
  • A derivada parcial de primeira ordem de f em relação a x, isto é \dfrac{\partial f}{\partial x}.
  • A derivada parcial de primeira ordem de f em relação a y, isto é \dfrac{\partial f}{\partial y}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x,y) é x^{2}y^{3}+3xy-1.
  • Não há outros dados nem restrições; devemos diferenciar termo a termo.

Passo 2

O que é derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a x mede a taxa de variação de f quando só alteramos x e mantemos y fixo. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a y mantém x fixo:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{f(x,y+h)-f(x,y)}{h}.
Na prática, para funções polinomiais, isso significa: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante e aplicamos as regras usuais de derivação.

Passo 3

Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Regra do fator constante: se c é constante (pode depender da outra variável), \dfrac{d}{dx}(c\cdot g(x))=c\cdot g'(x).
  • Regra da potência (power rule): \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1} para inteiro n.
    Aplicando essas regras termo a termo fica bem direto.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} termo a termo:
  • Para x^{2}y^{3}: ao derivar em relação a x, y^{3} é constante. Podemos ver o termo como y^{3}\cdot x^{2}. Usando a regra do fator constante e a regra da potência,
\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}y^{3}\big)=y^{3}\cdot\frac{d}{dx}x^{2}=y^{3}\cdot 2x=2x y^{3}.
  • Para 3xy: ao derivar em relação a x, 3y é constante, então
\frac{\partial}{\partial x}(3xy)=3y\cdot\frac{d}{dx}x=3y\cdot 1=3y.
  • Para -1: é constante, então a derivada é 0.
Somando os resultados:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x y^{3}+3y.
Podemos, se quisermos, fatorar y: \dfrac{\partial f}{\partial x}=y(2x y^{2}+3), mas a forma expandida já está simples.

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial y} termo a termo:
  • Para x^{2}y^{3}: ao derivar em relação a y, x^{2} é constante. Vemos o termo como x^{2}\cdot y^{3}. Aplicando a regra da potência,
\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}y^{3}\big)=x^{2}\cdot\frac{d}{dy}y^{3}=x^{2}\cdot 3y^{2}=3x^{2}y^{2}.
  • Para 3xy: ao derivar em relação a y, 3x é constante, então
\frac{\partial}{\partial y}(3xy)=3x\cdot\frac{d}{dy}y=3x.
  • Para -1: derivada 0.
Somando:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}y^{2}+3x.
Também aqui é possível fatorar 3x: \dfrac{\partial f}{\partial y}=3x(x y^{2}+1), se preferir.

Passo 6

Resumo e dica prática para a prova: quando tiver polinômios em x e y, derive tratando a variável que não está sendo diferenciada como constante; aplique potência e fator constante. Fazendo assim termo a termo você evita erros. Vai dar certo — respira fundo e pratica alguns exemplos parecidos.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x y^{3}+3y
\dfrac{\partial f}{\partial y}(x,y)=3x^{2}y^{2}+3x

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