Determine as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e em relação a
das funções abaixo. Simplifique as expressões sempre que possível.
;
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- A derivada parcial de primeira ordem de
em relação a , isto é . - A derivada parcial de primeira ordem de
em relação a , isto é .
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
é . - Não há outros dados nem restrições; devemos diferenciar termo a termo.
Passo 2
O que é derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a mede a taxa de variação de quando só alteramos e mantemos fixo. Formalmente,
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
mantém fixo:
Na prática, para funções polinomiais, isso significa: ao derivar em relação a uma variável, tratamos a outra como constante e aplicamos as regras usuais de derivação.
Passo 3
Regras que vamos usar (explicadas de forma simples):
- Regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Regra do fator constante: se
é constante (pode depender da outra variável), . - Regra da potência (power rule):
para inteiro .
Aplicando essas regras termo a termo fica bem direto.
Passo 4
Calcular
termo a termo:
- Para
: ao derivar em relação a , é constante. Podemos ver o termo como . Usando a regra do fator constante e a regra da potência,
- Para
: ao derivar em relação a , é constante, então
- Para
: é constante, então a derivada é .
Somando os resultados:
Podemos, se quisermos, fatorar
:
, mas a forma expandida já está simples.
Passo 5
Calcular
termo a termo:
- Para
: ao derivar em relação a , é constante. Vemos o termo como . Aplicando a regra da potência,
- Para
: ao derivar em relação a , é constante, então
- Para
: derivada .
Somando:
Também aqui é possível fatorar
:
, se preferir.
Passo 6
Resumo e dica prática para a prova: quando tiver polinômios em
e
, derive tratando a variável que não está sendo diferenciada como constante; aplique potência e fator constante. Fazendo assim termo a termo você evita erros. Vai dar certo — respira fundo e pratica alguns exemplos parecidos.