Suponha que uma função f(x, y) possua derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma vizinhança da origem e que ( 0,0 ) seja um ponto crítico. Considere o discriminante
D=f_{x x}(0,0) f_{y y}(0,0)-\left(f_{x y}(0,0)\right)^{2}
Discuta o que o teste da segunda derivada informa em cada um dos casos abaixo:
D>0 e f_{x x}(0,0)>0;

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A função f(x,y) tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança da origem.
  • O ponto (0,0) é um ponto crítico, ou seja, as derivadas primeiras em (0,0) são nulas.
  • Foi definido o discriminante
D = f_{x x}(0,0)\,f_{y y}(0,0) - \bigl(f_{x y}(0,0)\bigr)^{2}.
A pergunta específica é: o que o teste da segunda derivada informa no caso em que D>0 e f_{x x}(0,0)>0?

Passo 2

Recordando o que significa ser ponto crítico: (0,0) ser ponto crítico quer dizer que
f_x(0,0)=0\quad\text{e}\quad f_y(0,0)=0.
Isto é importante porque ao desenvolver f em série de Taylor em torno de (0,0) os termos lineares desaparecem, e o comportamento local é governado pelos termos de segunda ordem (mais um resto de ordem superior).

Passo 3

Escrevendo a expansão de Taylor de segunda ordem em torno de (0,0), para deslocamentos (h,k) pequenos:
f(0+h,0+k)=f(0,0)+\tfrac{1}{2}\bigl(f_{x x}(0,0)h^{2}+2f_{x y}(0,0)hk+f_{y y}(0,0)k^{2}\bigr)+o\bigl(h^{2}+k^{2}\bigr).
Aqui:
  • h e k são os incrementos em x e y;
  • o(h^{2}+k^{2}) significa um termo que, ao dividir por h^{2}+k^{2}, tende a 0 quando (h,k)\to(0,0).

Passo 4

Definimos a matriz Hessiana em (0,0):
H=\begin{pmatrix}f_{x x}(0,0) & f_{x y}(0,0)\\[4pt] f_{x y}(0,0) & f_{y y}(0,0)\end{pmatrix}.
O discriminante D é justamente o determinante de H:
D=\det H = f_{x x}(0,0)\,f_{y y}(0,0)-\bigl(f_{x y}(0,0)\bigr)^{2}.
O termo quadrático na Taylor pode ser escrito (multiplicando por 2) como a forma quadrática associada a H:
q(h,k)=f_{x x}(0,0)\,h^{2}+2f_{x y}(0,0)\,hk+f_{y y}(0,0)\,k^{2}.
Se q(h,k)>0 para todo (h,k)\neq(0,0) então a forma quadrática (e portanto o termo de segunda ordem) é positiva definida.]

Passo 5

Critério prático para matrizes 2\times2 simétricas: a matriz H é positiva definida se, e somente se, as seguintes duas condições forem verdadeiras:
  1. f_{x x}(0,0)>0 (primeiro menor principal positivo);
  2. D=\det H>0 (determinante positivo).
Vou demonstrar rapidamente porque isso garante positividade de q. Tomemos a=f_{x x}(0,0), b=f_{x y}(0,0) e c=f_{y y}(0,0). Então
q(h,k)=a h^{2}+2b hk + c k^{2}.
Fazendo uma completar de quadrado (supondo a>0):
q(h,k)=a\Bigl(h+\frac{b}{a}k\Bigr)^{2} + \frac{ac-b^{2}}{a}\,k^{2}.
Como ac-b^{2}=D>0 e a>0, ambos os coeficientes na direita são positivos, então q(h,k)>0 para todo (h,k)\neq(0,0). Assim a forma quadrática é positiva definida.

Passo 6

Voltando à expansão de Taylor, temos
f(0+h,0+k)-f(0,0)=\tfrac{1}{2}q(h,k)+o(h^{2}+k^{2}).
Se q(h,k) é positiva definida então existe uma constante c>0 tal que q(h,k)\ge c(h^{2}+k^{2}) para (h,k) suficientemente pequenos. Como o(h^{2}+k^{2}) é pequeno comparado a h^{2}+k^{2}, para (h,k) suficientemente próximos de (0,0) o lado direito é estritamente positivo. Portanto existe uma vizinhança de (0,0) onde
f(0+h,0+k)>f(0,0)\quad\text{para todo }(h,k)\neq(0,0)
nessa vizinhança. Isso é exatamente a definição de mínimo local.

Passo 7

Intuição geométrica e exemplo rápido: quando D>0 e f_{x x}(0,0)>0 a Hessiana é positiva definida e o gráfico de f perto de (0,0) tem a forma de um “bowl” (uma tigela voltada para cima) — então a origem é um ponto de mínimo local. Exemplo concreto: f(x,y)=x^{2}+y^{2}. Aqui f_{x x}(0,0)=2>0, f_{x y}(0,0)=0, f_{y y}(0,0)=2, logo D=4>0 e de fato (0,0) é mínimo global (logo também local).

Passo 8

Resumo prático para a prova (receita de bolso):
  • Calcule f_x e f_y e verifique que f_x(0,0)=f_y(0,0)=0.
  • Calcule f_{x x}(0,0), f_{x y}(0,0), f_{y y}(0,0) e forme D.
  • Se D>0 e f_{x x}(0,0)>0, conclua que (0,0) é um mínimo local.

Resposta

Há um mínimo local em (0,0).

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