Suponha que uma função
possua derivadas parciais de segunda ordem contínuas em uma vizinhança da origem e que ( 0,0 ) seja um ponto crítico. Considere o discriminante
Discuta o que o teste da segunda derivada informa em cada um dos casos abaixo:
e
;
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A função
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas numa vizinhança da origem. - O ponto
é um ponto crítico, ou seja, as derivadas primeiras em são nulas. - Foi definido o discriminante
A pergunta específica é: o que o teste da segunda derivada informa no caso em que
e
?
Passo 2
Recordando o que significa ser ponto crítico:
ser ponto crítico quer dizer que
Isto é importante porque ao desenvolver
em série de Taylor em torno de
os termos lineares desaparecem, e o comportamento local é governado pelos termos de segunda ordem (mais um resto de ordem superior).
Passo 3
Escrevendo a expansão de Taylor de segunda ordem em torno de
, para deslocamentos
pequenos:
Aqui:
-
e são os incrementos em e ; -
significa um termo que, ao dividir por , tende a quando .
Passo 4
Definimos a matriz Hessiana em
:
O discriminante
é justamente o determinante de
:
O termo quadrático na Taylor pode ser escrito (multiplicando por
) como a forma quadrática associada a
:
Se
para todo
então a forma quadrática (e portanto o termo de segunda ordem) é positiva definida.]
Passo 5
Critério prático para matrizes
simétricas: a matriz
é positiva definida se, e somente se, as seguintes duas condições forem verdadeiras:
-
(primeiro menor principal positivo); -
(determinante positivo).
Vou demonstrar rapidamente porque isso garante positividade de
. Tomemos
,
e
. Então
Fazendo uma completar de quadrado (supondo
):
Como
e
, ambos os coeficientes na direita são positivos, então
para todo
. Assim a forma quadrática é positiva definida.
Passo 6
Voltando à expansão de Taylor, temos
Se
é positiva definida então existe uma constante
tal que
para
suficientemente pequenos. Como
é pequeno comparado a
, para
suficientemente próximos de
o lado direito é estritamente positivo. Portanto existe uma vizinhança de
onde
nessa vizinhança. Isso é exatamente a definição de mínimo local.
Passo 7
Intuição geométrica e exemplo rápido: quando
e
a Hessiana é positiva definida e o gráfico de
perto de
tem a forma de um “bowl” (uma tigela voltada para cima) — então a origem é um ponto de mínimo local. Exemplo concreto:
. Aqui
,
,
, logo
e de fato
é mínimo global (logo também local).
Passo 8
Resumo prático para a prova (receita de bolso):
- Calcule
e e verifique que . - Calcule
, , e forme . - Se
e , conclua que é um mínimo local.
Resposta
Há um mínimo local em
.