Calcule os limites das sucessões
Passo 1
O enunciado pede para calcular os limites, quando
, das seguintes sucessões (na ordem dada):
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável que cresce é
e consideramos o limite quando . - Em uma das expressões aparece um parâmetro real
com a condição .
Nada mais foi dado; portanto devemos analisar cada sucessão usando técnicas de comparação de crescimento de potências, divisão por termos dominantes e propriedades de funções contínuas (no caso da raiz quadrada).
Passo 2
Ideias e ferramentas que vou usar (explicadas de forma didática).
- Para razão de polinômios em
: quando temos uma fração do tipo com e polinômios em , a técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de que aparece no denominador (ou no numerador). Isso deixa termos do tipo , que vão a zero quando . Por exemplo, dividir por transforma em . - Comparação de crescimento: potências maiores de
crescem muito mais rápido. Logo, se aparece com , então domina e a razão . - Função contínua e limite: se
é contínua num ponto e , então . A raiz quadrada é contínua em , então podemos passar o limite para dentro da raiz quando o argumento da raiz tende a um número positivo. - Recíproco de quantidade que vai a infinito: se
com , então .
Vou aplicar essas ideias em cada sucessão.
Passo 3
Limite de
.
Divido numerador e denominador por (a maior potência que aparece no denominador):
Divido numerador e denominador por
Observe que
e
quando
. Portanto o numerador tende a
e o denominador tende a
. Assim
Passo 4
Limite de
.
Divido numerador e denominador por (a maior potência presente):
Divido numerador e denominador por
Como
quando
, o denominador tende a
. Logo
Passo 5
Limite de
para
.
Primeiro fatoro um (isso facilita ver quem domina):
Primeiro fatoro um
Agora analiso dois casos, porque o sinal do expoente
muda o comportamento de
.
Caso 1:
. Então
e
quando
. Assim
e como multiplicamos por
(que também vai a
), o produto tende a
. Logo
Caso 2:
. Então
e
quando
. Assim
. Portanto
e como
temos
(Observação: o caso
foi excluído pelo enunciado.)
Passo 6
Limite de
.
Reescrevo como raiz da razão:
Reescrevo como raiz da razão:
Divido numerador e denominador dentro da raiz por
:
Como
e
, a razão dentro da raiz tende a
. A função
é contínua em
, então posso passar o limite para dentro da raiz:
Passo 7
Limite de
.
Para temos
e
. Como
quando
, o recíproco tende a
. Formalmente,
Para
Também pode-se ver por comparação com
: potências positivas de
vão a infinito, logo seu recíproco vai a zero.