Calcule os limites das sucessões
\begin{aligned} & \left(\frac{n}{n^{2}+2}\right),\left(\frac{n^{3}}{4 n^{3}+1}\right),\left(n^{r}-n\right), \text { onde } r \neq 1, \\\ & \left(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) . \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites, quando n\to\infty, das seguintes sucessões (na ordem dada):
\left(\frac{n}{n^{2}+2}\right),\qquad \left(\frac{n^{3}}{4 n^{3}+1}\right),\qquad \left(n^{r}-n\right)\text{ com }r\neq1,\qquad \left(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}\right),\qquad \left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável que cresce é n e consideramos o limite quando n\to\infty.
  • Em uma das expressões aparece um parâmetro real r com a condição r\neq1.
    Nada mais foi dado; portanto devemos analisar cada sucessão usando técnicas de comparação de crescimento de potências, divisão por termos dominantes e propriedades de funções contínuas (no caso da raiz quadrada).

Passo 2

Ideias e ferramentas que vou usar (explicadas de forma didática).
  • Para razão de polinômios em n: quando temos uma fração do tipo \dfrac{a_n}{b_n} com a_n e b_n polinômios em n, a técnica padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de n que aparece no denominador (ou no numerador). Isso deixa termos do tipo 1/n, 1/n^2 que vão a zero quando n\to\infty. Por exemplo, dividir por n^k transforma \dfrac{n^3}{4n^3+1} em \dfrac{1}{4+1/n^3}.
  • Comparação de crescimento: potências maiores de n crescem muito mais rápido. Logo, se aparece n^p com p>q, então n^p domina n^q e a razão n^q/n^p=n^{q-p}\to0.
  • Função contínua e limite: se f é contínua num ponto L e x_n\to L, então f(x_n)\to f(L). A raiz quadrada x\mapsto\sqrt{x} é contínua em (0,\infty), então podemos passar o limite para dentro da raiz quando o argumento da raiz tende a um número positivo.
  • Recíproco de quantidade que vai a infinito: se a_n\to\infty com a_n>0, então 1/a_n\to0.
    Vou aplicar essas ideias em cada sucessão.

Passo 3

Limite de \displaystyle\left(\frac{n}{n^{2}+2}\right).
Divido numerador e denominador por n^{2} (a maior potência que aparece no denominador):
\frac{n}{n^{2}+2}=\frac{\dfrac{n}{n^{2}}}{\dfrac{n^{2}}{n^{2}}+\dfrac{2}{n^{2}}}=\frac{\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{2}{n^{2}}}.
Observe que \dfrac{1}{n}\to0 e \dfrac{2}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty. Portanto o numerador tende a 0 e o denominador tende a 1. Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n^{2}+2}=0.

Passo 4

Limite de \displaystyle\left(\frac{n^{3}}{4 n^{3}+1}\right).
Divido numerador e denominador por n^{3} (a maior potência presente):
\frac{n^{3}}{4n^{3}+1}=\frac{\dfrac{n^{3}}{n^{3}}}{\dfrac{4n^{3}}{n^{3}}+\dfrac{1}{n^{3}}}=\frac{1}{4+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Como \dfrac{1}{n^{3}}\to0 quando n\to\infty, o denominador tende a 4. Logo
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{4 n^{3}+1}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Limite de \displaystyle\left(n^{r}-n\right) para r\neq1.
Primeiro fatoro um n (isso facilita ver quem domina):
n^{r}-n = n\bigl(n^{\,r-1}-1\bigr).
Agora analiso dois casos, porque o sinal do expoente r-1 muda o comportamento de n^{\,r-1}.
Caso 1: r>1. Então r-1>0 e n^{\,r-1}\to\infty quando n\to\infty. Assim n^{\,r-1}-1\to\infty e como multiplicamos por n (que também vai a \infty), o produto tende a +\infty. Logo
\lim_{n\to\infty}\bigl(n^{r}-n\bigr)=+\infty\quad\text{se }r>1.
Caso 2: r<1. Então r-1<0 e n^{\,r-1}=n^{-(1-r)}\to0 quando n\to\infty. Assim n^{\,r-1}-1\to -1. Portanto
n\bigl(n^{\,r-1}-1\bigr)\sim n\cdot(-1)=-n,
e como -n\to -\infty temos
\lim_{n\to\infty}\bigl(n^{r}-n\bigr)=-\infty\quad\text{se }r<1.
(Observação: o caso r=1 foi excluído pelo enunciado.)

Passo 6

Limite de \displaystyle\left(\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}\right).
Reescrevo como raiz da razão:
\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+2}}=\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}.
Divido numerador e denominador dentro da raiz por n:
\frac{n+1}{n+2}=\frac{1+\dfrac{1}{n}}{1+\dfrac{2}{n}}.
Como \dfrac{1}{n}\to0 e \dfrac{2}{n}\to0, a razão dentro da raiz tende a 1. A função x\mapsto\sqrt{x} é contínua em 1, então posso passar o limite para dentro da raiz:
\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{n+1}{n+2}}=\sqrt{1}=1.

Passo 7

Limite de \displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).
Para n\ge1 temos \sqrt{n}\ge1 e \dfrac{1}{\sqrt{n}}>0. Como \sqrt{n}\to\infty quando n\to\infty, o recíproco tende a 0. Formalmente,
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}=0.
Também pode-se ver por comparação com 1/n^{1/2}: potências positivas de n vão a infinito, logo seu recíproco vai a zero.

Resposta

\displaystyle 0
\displaystyle \tfrac{1}{4}
\displaystyle +\infty se r>1; \displaystyle -\infty se r<1
\displaystyle 1
\displaystyle 0

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