Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
,
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas parciais de primeira ordem. O enunciado nos dá a função
. Vamos precisar saber como tirar derivadas em relação a uma variável mantendo a outra constante. Então, vamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
como uma constante.
A função é
. Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Então, vamos usar a regra do produto.
Passo 3
Aplicando a regra do produto, temos:
Sabemos que
e, para derivar
, usamos a regra da cadeia.
Passo 4
Derivando
em relação a
:
Passo 5
Substituindo de volta na expressão da regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
A função continua
. Neste caso, apenas a função
depende de
.
Passo 7
Derivando
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e