Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=x sen(y-x),

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício de cálculo que envolve derivadas parciais de primeira ordem. O enunciado nos dá a função f(x, y) = x cdot sin(y - x) . Vamos precisar saber como tirar derivadas em relação a uma variável mantendo a outra constante. Então, vamos calcular as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , ou seja, partial fpartial x. Para isso, tratamos y como uma constante.
A função é f(x, y) = x cdot sin(y - x) . Aqui, temos um produto de duas funções de x : x e sin(y - x) . Então, vamos usar a regra do produto.

Passo 3

Aplicando a regra do produto, temos:
partial fpartial x = ddx(x) cdot sin(y - x) + x cdot ddx(sin(y - x))
Sabemos que ddx(x) = 1 e, para derivar sin(y - x), usamos a regra da cadeia.

Passo 4

Derivando sin(y - x) em relação a x :
ddx(sin(y - x)) = cos(y - x) cdot ddx(y - x) = cos(y - x) cdot (-1) = -cos(y - x)

Passo 5

Substituindo de volta na expressão da regra do produto:
partial fpartial x = 1 cdot sin(y - x) + x cdot (-cos(y - x)) = sin(y - x) - x cos(y - x)

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a y , ou seja, partial fpartial y. Aqui, tratamos x como uma constante.
A função continua f(x, y) = x cdot sin(y - x) . Neste caso, apenas a função sin(y - x) depende de y .

Passo 7

Derivando sin(y - x) em relação a y :
partial fpartial y = x cdot ddy(sin(y - x)) = x cdot cos(y - x) cdot ddy(y - x) = x cdot cos(y - x) cdot 1 = x cos(y - x)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x cdot sin(y - x) são:
partial fpartial x = sin(y - x) - x cos(y - x)
e
partial fpartial y = x cos(y - x)

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