Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função:
Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a
mantendo
constante, e vice-versa. Para isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
A função é um quociente, então aplicamos a regra do quociente:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas individuais:
- Derivada do numerador em relação a
:
Porque
é tratado como constante em relação a
.
- Derivada do denominador em relação a
:
Já que a derivada de
em relação a
é 1 e
é constante.
Passo 4
Substituindo essas derivadas na fórmula da regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Novamente, usamos a regra do quociente:
Passo 6
Calculando as derivadas individuais:
- Derivada do numerador em relação a
:
Já que
é tratado como constante.
- Derivada do denominador em relação a
:
A derivada de
em relação a
é 2.
Passo 7
Substituindo essas derivadas na fórmula da regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Podemos fatorar
:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e