Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
f(x, y)=x y^2x+2 y,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função:
f(x, y) = x y^2x + 2 y
Isso significa que vamos calcular como a função muda em relação a x mantendo y constante, e vice-versa. Para isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é útil quando temos uma função dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a x , ou seja, partial fpartial x .
A função é um quociente, então aplicamos a regra do quociente:
partial fpartial x = (x + 2y) cdot partialpartial x(x y^2) - x y^2 cdot partialpartial x(x + 2y)(x + 2y)^2

Passo 3

Vamos calcular as derivadas individuais:
  1. Derivada do numerador em relação a x :
partialpartial x(x y^2) = y^2
Porque y^2 é tratado como constante em relação a x .
  1. Derivada do denominador em relação a x :
partialpartial x(x + 2y) = 1
Já que a derivada de x em relação a x é 1 e 2y é constante.

Passo 4

Substituindo essas derivadas na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial x = (x + 2y) cdot y^2 - x y^2 cdot 1(x + 2y)^2
Simplificando o numerador:
(x + 2y) y^2 - x y^2 = x y^2 + 2y cdot y^2 - x y^2 = 2 y^3
Então:
partial fpartial x = 2 y^3(x + 2y)^2

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a y , ou seja, partial fpartial y .
Novamente, usamos a regra do quociente:
partial fpartial y = (x + 2y) cdot partialpartial y(x y^2) - x y^2 cdot partialpartial y(x + 2y)(x + 2y)^2

Passo 6

Calculando as derivadas individuais:
  1. Derivada do numerador em relação a y :
partialpartial y(x y^2) = 2x y
Já que x é tratado como constante.
  1. Derivada do denominador em relação a y :
partialpartial y(x + 2y) = 2
A derivada de 2y em relação a y é 2.

Passo 7

Substituindo essas derivadas na fórmula da regra do quociente:
partial fpartial y = (x + 2y) cdot 2x y - x y^2 cdot 2(x + 2y)^2
Simplificando o numerador:
2x y (x + 2y) - 2x y^2 = 2x^2 y + 4x y^2 - 2x y^2 = 2x^2 y + 2x y^2
Podemos fatorar 2x y :
2x y (x + y)
Então:
partial fpartial y = 2x y (x + y)(x + 2y)^2

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função f(x, y) = x y^2x + 2 y são:
partial fpartial x = 2 y^3(x + 2y)^2
e
partial fpartial y = 2x y (x + y)(x + 2y)^2

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