Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
u=x sen(x+2 y),

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função u = x cdot sin(x + 2y) . Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de u em relação a x , ou seja, partial upartial x .
A função é u = x cdot sin(x + 2y) . Aqui, temos um produto de duas funções de x : x e sin(x + 2y) . Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de f(x) cdot g(x) é f'(x) cdot g(x) + f(x) cdot g'(x) .
Aplicando isso:
  1. Derivada de x em relação a x é 1.
  2. Derivada de sin(x + 2y) em relação a x é cos(x + 2y) (usando a regra da cadeia, já que dentro da função seno temos x + 2y ).
Então:
partial upartial x = 1 cdot sin(x + 2y) + x cdot cos(x + 2y)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de u em relação a y , ou seja, partial upartial y .
Novamente, temos u = x cdot sin(x + 2y) . Essa vez, x é tratado como constante porque estamos derivando em relação a y . A derivada de sin(x + 2y) em relação a y é 2 cos(x + 2y) (usando a regra da cadeia, já que a derivada de x + 2y em relação a y é 2).
Então:
partial upartial y = x cdot 2 cos(x + 2y) = 2x cos(x + 2y)

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função u = x cdot sin(x + 2y) são:
partial upartial x = sin(x + 2y) + x cos(x + 2y)
e
partial upartial y = 2x cos(x + 2y)

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