Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente das derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
A função é
. Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e
. Para derivar isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aplicando isso:
- Derivada de
em relação a é 1. - Derivada de
em relação a é (usando a regra da cadeia, já que dentro da função seno temos ).
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Novamente, temos
. Essa vez,
é tratado como constante porque estamos derivando em relação a
. A derivada de
em relação a
é
(usando a regra da cadeia, já que a derivada de
em relação a
é 2).
Então:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
e