Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
(f) f(x, y)=\frac{x y}{x-y}.

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem de
f(x,y)=\frac{x\,y}{x-y}.
O conteúdo usado aqui é a regra do quociente: se f(x,y)=\frac{u(x,y)}{v(x,y)}, então
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2}.
Para isso, identificamos u(x,y)=x\,y e v(x,y)=x-y.

Passo 2

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
Derivamos u e v em relação a x, tratando y como constante:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x\,y)=y, \qquad v_x = \frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1.
Aplicando a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_x\,v - u\,v_x}{v^2} =\frac{y\,(x-y) - (x\,y)\cdot1}{(x-y)^2} =\frac{x\,y - y^2 - x\,y}{(x-y)^2} =-\frac{y^2}{(x-y)^2}.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
Derivamos u e v em relação a y, tratando x como constante:
u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x\,y)=x, \qquad v_y = \frac{\partial}{\partial y}(x-y)=-1.
De novo pela regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_y\,v - u\,v_y}{v^2} =\frac{x\,(x-y) - (x\,y)\,(-1)}{(x-y)^2} =\frac{x^2 - x\,y + x\,y}{(x-y)^2} =\frac{x^2}{(x-y)^2}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=-\frac{y^2}{(x-y)^2}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{x^2}{(x-y)^2}.

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