Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para a função
calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem e verificar se vale o Teorema de Clairaut (isto é, se
). Vamos usar as regras de derivação: derivada de
em relação a
e as regras de produto e cadeia para
.
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas parciais de primeira ordem:
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
e a
:
Passo 4
Em seguida derivamos
em relação a
e a
:
Passo 5
Comparando as derivadas mistas:
vemos que
. Logo, o Teorema de Clairaut está validado para esta função.
Resposta
E realmente