Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
(a) f(x, y)=x e^{3 y}

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x,y) = x\,e^{3y}
calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem e verificar se vale o Teorema de Clairaut (isto é, se \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}). Vamos usar as regras de derivação: derivada de x em relação a x e as regras de produto e cadeia para e^{3y}.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas parciais de primeira ordem:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,e^{3y}\bigr) =e^{3y},
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\,e^{3y}\bigr) =x\cdot\frac{d}{dy}(e^{3y}) =x\cdot3\,e^{3y} =3x\,e^{3y}.

Passo 3

Agora derivamos f_x em relação a x e a y:
f_{xx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{3y}\bigr)=0,
f_{xy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(e^{3y}\bigr) =3\,e^{3y}.

Passo 4

Em seguida derivamos f_y em relação a x e a y:
f_{yx}(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x\,e^{3y}\bigr) =3\,e^{3y},
f_{yy}(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x\,e^{3y}\bigr) =3x\cdot3\,e^{3y} =9x\,e^{3y}.

Passo 5

Comparando as derivadas mistas:
f_{xy}(x,y)=3\,e^{3y} \quad\text{e}\quad f_{yx}(x,y)=3\,e^{3y},
vemos que f_{xy}=f_{yx}. Logo, o Teorema de Clairaut está validado para esta função.

Resposta

f_{xx}(x,y)=0 f_{xy}(x,y)=3\,e^{3y} f_{yx}(x,y)=3\,e^{3y} f_{yy}(x,y)=9x\,e^{3y}
E realmente f_{xy}=f_{yx}, confirmando o Teorema de Clairaut.

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