Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
(d) f(x, y)=x \operatorname{sen}(x+2 y)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de segunda ordem de
f(x,y)=x\operatorname{sen}\bigl(x+2y\bigr)
e verificar o Teorema de Clairaut, isto é, checar se \displaystyle \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}. Vamos usar as regras de derivação de produto e cadeia.

Passo 2

Primeiro achamos as derivadas de primeira ordem. Para \displaystyle f_x, derivamos em x tratando y como constante:
f_x = \frac{\partial}{\partial x}\Bigl[x\operatorname{sen}(x+2y)\Bigr] = \operatorname{sen}(x+2y) + x\cos(x+2y)\cdot1 = \operatorname{sen}(x+2y) + x\cos(x+2y).
Para \displaystyle f_y, derivamos em y tratando x como constante:
f_y = \frac{\partial}{\partial y}\Bigl[x\operatorname{sen}(x+2y)\Bigr] = x\cos(x+2y)\cdot2 = 2x\cos(x+2y).

Passo 3

Agora calculamos as segundas derivadas envolvendo x duas vezes e mista x depois y.
Para \displaystyle f_{xx}, derivamos f_x em x:
f_{xx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sen}(x+2y) + x\cos(x+2y)\bigr] = \cos(x+2y)\cdot1 \;+\; \cos(x+2y) + x\bigl(-\operatorname{sen}(x+2y)\bigr)\cdot1 = 2\cos(x+2y) - x\operatorname{sen}(x+2y).
Para \displaystyle f_{xy}, derivamos f_x em y:
f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sen}(x+2y) + x\cos(x+2y)\bigr] = 2\cos(x+2y) \;+\; x\bigl(-\operatorname{sen}(x+2y)\bigr)\cdot2 = 2\cos(x+2y) - 2x\operatorname{sen}(x+2y).

Passo 4

Agora as segundas derivadas envolvendo y duas vezes e mista y depois x.
Para \displaystyle f_{yx}, derivamos f_y em x:
f_{yx} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl[2x\cos(x+2y)\bigr] = 2\cos(x+2y) + 2x\bigl(-\operatorname{sen}(x+2y)\bigr)\cdot1 = 2\cos(x+2y) - 2x\operatorname{sen}(x+2y).
Para \displaystyle f_{yy}, derivamos f_y em y:
f_{yy} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl[2x\cos(x+2y)\bigr] = 2x\bigl(-\operatorname{sen}(x+2y)\bigr)\cdot2 = -4x\operatorname{sen}(x+2y).

Passo 5

Comparando as derivadas mistas, vemos que
f_{xy} = 2\cos(x+2y) - 2x\operatorname{sen}(x+2y) \quad\text{e}\quad f_{yx} = 2\cos(x+2y) - 2x\operatorname{sen}(x+2y),
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f_{xy} = f_{yx}.
Como f é C^2, o Teorema de Clairaut se verifica.

Resposta

f_{xx} = 2\cos(x+2y) - x\operatorname{sen}(x+2y),
f_{xy} = 2\cos(x+2y) - 2x\operatorname{sen}(x+2y),
f_{yx} = 2\cos(x+2y) - 2x\operatorname{sen}(x+2y),
f_{yy} = -4x\operatorname{sen}(x+2y).
As derivadas mistas coincidem, portanto o Teorema de Clairaut está verificado.

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