Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem e verifique o Teorema de Clairut para as seguintes funções:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para encontrarmos todas as derivadas parciais de segunda ordem de
e verificar o Teorema de Clairaut, isto é, checar se
. Vamos usar as regras de derivação de produto e cadeia.
Passo 2
Primeiro achamos as derivadas de primeira ordem. Para
, derivamos em
tratando
como constante:
Para
, derivamos em
tratando
como constante:
Passo 3
Agora calculamos as segundas derivadas envolvendo
duas vezes e mista
depois
.
Para , derivamos
em
:
Para
Para
, derivamos
em
:
Passo 4
Agora as segundas derivadas envolvendo
duas vezes e mista
depois
.
Para , derivamos
em
:
Para
Para
, derivamos
em
:
Passo 5
Comparando as derivadas mistas, vemos que
logo
Como
é
, o Teorema de Clairaut se verifica.
Resposta
As derivadas mistas coincidem, portanto o Teorema de Clairaut está verificado.