Determine as derivadas parciais de primeira ordem das seguintes funções:
(b) f(x, y)=x \operatorname{sen}(y-x)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x\,\operatorname{sen}(y-x)
e pede as derivadas parciais de primeira ordem. Para isso vamos usar a regra do produto (pois há x multiplicando \operatorname{sen}(y-x)) e a regra da cadeia (para derivar \operatorname{sen}(y-x)).

Passo 2

Calculando a derivada parcial em relação a x, vemos que
f(x,y)=x\cdot \operatorname{sen}(y-x).
Pela regra do produto,
\frac{\partial f}{\partial x} =\underbrace{\frac{\partial}{\partial x}(x)}_{=1}\cdot \operatorname{sen}(y-x) + x\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sen}(y-x)\bigr].
Para a segunda parcela usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl[\operatorname{sen}(y-x)\bigr] =\cos(y-x)\cdot \frac{\partial}{\partial x}(y-x) =\cos(y-x)\cdot(-1).
Logo,
\frac{\partial f}{\partial x} =\operatorname{sen}(y-x) - x\,\cos(y-x).

Passo 3

Agora calculamos a derivada parcial em relação a y. Aqui x é constante, então
\frac{\partial f}{\partial y} =x\cdot \frac{\partial}{\partial y}\bigl[\operatorname{sen}(y-x)\bigr] =x\cdot\cos(y-x)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(y-x) =x\,\cos(y-x)\cdot1 =x\,\cos(y-x).

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} =\operatorname{sen}(y-x)-x\,\cos(y-x), \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =x\,\cos(y-x).

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