Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
f(v)=u \operatorname{tg}^{-1} v

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função que envolve duas variáveis u e v. Os dados são:
  • A função: f(u,v)=u\\ \operatorname{tg}^{-1} v.
  • As incógnitas pedidas: \dfrac{\partial f}{\partial u} e \dfrac{\partial f}{\partial v}.
    Obs.: aqui \operatorname{tg}^{-1} v é a notação para \arctan v.

Passo 2

O que é uma derivada parcial?
  • A derivada parcial de f em relação a u mede a taxa de variação de f quando somente u varia e v fica fixo. Formalmente:
\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)=\lim_{h\to0}\frac{f(u+h,v)-f(u,v)}{h}.
  • Analogamente, a derivada parcial em relação a v é a taxa quando só v varia e u fica fixo:
\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)=\lim_{h\to0}\frac{f(u,v+h)-f(u,v)}{h}.
Na prática, para funções com produto de uma variável por função da outra, basta tratar a variável não diferenciada como constante.

Passo 3

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial u}.
Trata-se v como constante. Então:
f(u+h,v)=(u+h)\arctan v.
Substituindo na definição e simplificando dá
\frac{\partial f}{\partial u}(u,v)=\arctan v.
Intuição: é como derivar u\cdot C onde C=\arctan v é constante; a derivada é C.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial v}.
Trata-se u como constante, então
\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)=u\cdot\frac{d}{dv}\big(\arctan v\big).
Precisamos lembrar a derivada de \arctan v. Uma forma rápida de obter é por diferenciação implícita: escreva y=\arctan v, logo v=\tan y. Diferenciando em v obtemos
1=\operatorname{sec}^{2}y\cdot\frac{dy}{dv}.
Assim
\frac{dy}{dv}=\cos^{2}y=\frac{1}{1+\tan^{2}y}=\frac{1}{1+v^{2}}.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial v}(u,v)=\frac{u}{1+v^{2}}.

Passo 5

Verificação numérica rápida (exemplo): para (u,v)=(2,1),
\frac{\partial f}{\partial u}= \arctan 1=\frac{\pi}{4},\qquad \frac{\partial f}{\partial v}=\frac{2}{1+1}=1.
Força aí — já temos as fórmulas prontas para aplicar na prova!

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial u}(u,v)=\arctan v
\dfrac{\partial f}{\partial v}(u,v)=\dfrac{u}{1+v^{2}}

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