Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado pede as derivadas parciais de primeira ordem da função que envolve duas variáveis
e
. Os dados são:
- A função:
. - As incógnitas pedidas:
e .
Obs.: aquié a notação para .
Passo 2
O que é uma derivada parcial?
- A derivada parcial de
em relação a mede a taxa de variação de quando somente varia e fica fixo. Formalmente:
- Analogamente, a derivada parcial em relação a
é a taxa quando só varia e fica fixo:
Na prática, para funções com produto de uma variável por função da outra, basta tratar a variável não diferenciada como constante.
Passo 3
Calcular
.
Trata-se como constante. Então:
Trata-se
Substituindo na definição e simplificando dá
Intuição: é como derivar
onde
é constante; a derivada é
.
Passo 4
Calcular
.
Trata-se como constante, então
Trata-se
Precisamos lembrar a derivada de
. Uma forma rápida de obter é por diferenciação implícita: escreva
, logo
. Diferenciando em
obtemos
Assim
Portanto
Passo 5
Verificação numérica rápida (exemplo): para
,
Força aí — já temos as fórmulas prontas para aplicar na prova!