Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
u=e^{-r} \operatorname{sen} 2 \theta

Passo 1

O enunciado dá a função u em termos de duas variáveis independentes r e \theta:
u = e^{-r}\,\sin 2\theta.
O que se pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem:
  • \dfrac{\partial u}{\partial r};
  • \dfrac{\partial u}{\partial \theta}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é produto de duas funções, uma que depende só de r, e^{-r}, e outra que depende só de \theta, \sin 2\theta.
  • As variáveis independentes são r e \theta; ao derivar parcialmente em relação a uma, a outra é tratada como constante.

Passo 2

Breve revisão das regras que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Definição de derivada parcial: para uma função u(r,\theta),
\frac{\partial u}{\partial r}(r,\theta)=\lim_{h\to0}\frac{u(r+h,\theta)-u(r,\theta)}{h},
e análoga para \partial u/\partial\theta. Na prática calculamos tratando a outra variável como constante.
  • Regra do produto (para derivadas parciais): se u(r,\theta)=A(r)\,B(\theta) então, ao derivar em relação a r,
\frac{\partial u}{\partial r}=A'(r)\,B(\theta),
porque B(\theta) é constante quando diferenciamos em r. De modo similar para derivar em \theta.
  • Regra da cadeia (quando a função tem composição): se uma função é f(g(x)) então (f\circ g)'(x)=f'(g(x))\cdot g'(x). Ex.: \dfrac{d}{d\theta}\sin(2\theta)=\cos(2\theta)\cdot 2.
Essas são as ferramentas necessárias aqui: produto (pois u é produto) e cadeia (para e^{-r} e \sin 2\theta).

Passo 3

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial r}.
  • Tratamos \theta como constante. Escrevendo u como produto de uma função de r por uma função de \theta:
u(r,\theta)=A(r)\,B(\theta), \qquad\text{onde}\qquad A(r)=e^{-r},\; B(\theta)=\sin 2\theta.
  • Pela regra do produto (com B(\theta) constante ao derivar em r),
\frac{\partial u}{\partial r}=A'(r)\,B(\theta).
  • Agora calculamos A'(r)=\dfrac{d}{dr}e^{-r}. Aqui se aplica a regra da cadeia: e^{-r} é e^{t} com t=-r, então
\frac{d}{dr}e^{-r}=e^{-r}\cdot\frac{d}{dr}(-r)=e^{-r}\cdot(-1)=-e^{-r}.
  • Substituindo em \partial u/\partial r:
\frac{\partial u}{\partial r} = (-e^{-r})\cdot \sin 2\theta = -e^{-r}\,\sin 2\theta.

Passo 4

Cálculo de \dfrac{\partial u}{\partial \theta}.
  • Agora tratamos r como constante. Novamente usamos a escrita em produto u(r,\theta)=A(r)\,B(\theta), com A(r)=e^{-r} constante agora.
  • Pela regra do produto (agora A(r) é constante ao derivar em \theta):
\frac{\partial u}{\partial \theta}=A(r)\,B'(\theta)=e^{-r}\,\frac{d}{d\theta}\big(\sin 2\theta\big).
  • Calculamos \dfrac{d}{d\theta}\sin 2\theta com a regra da cadeia: se g(\theta)=2\theta então \sin(2\theta)=(\sin\circ g)(\theta), logo
\frac{d}{d\theta}\sin 2\theta = \cos 2\theta \cdot \frac{d}{d\theta}(2\theta) = \cos 2\theta \cdot 2 = 2\cos 2\theta.
  • Substituindo:
\frac{\partial u}{\partial \theta} = e^{-r}\cdot 2\cos 2\theta = 2 e^{-r}\,\cos 2\theta.

Passo 5

Verificação numérica rápida (para ganhar confiança):
  • Por exemplo, em \,r=0 e \theta=\dfrac{\pi}{4}:
u(0,\tfrac{\pi}{4})=e^{0}\sin\big(2\cdot\tfrac{\pi}{4}\big)=1\cdot\sin\tfrac{\pi}{2}=1.
\frac{\partial u}{\partial r}(0,\tfrac{\pi}{4})=-e^{0}\sin\tfrac{\pi}{2}=-1, \qquad \frac{\partial u}{\partial \theta}(0,\tfrac{\pi}{4})=2e^{0}\cos\tfrac{\pi}{2}=0.
Isto confirma coerentemente que em r=0,\theta=\pi/4 a função decresce em r (derivada negativa) e não muda instantaneamente em \theta (derivada zero), conforme as fórmulas encontradas.

Passo 6

Dicas para a prova (curtas e úteis):
  • Sempre identifique quais fatores dependem da variável que está sendo diferenciada e trate os outros como constantes.
  • Lembre-se das duas regras: produto (mantém o outro fator) e cadeia (multiplica pela derivada interna, ex.: 2 em 2\theta).
  • Evite confundir \sin com \cos — ao derivar \sin vira \cos e ao derivar e^{(\cdot)} multiplica-se pela derivada do expoente.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial u}{\partial r} = -e^{-r}\,\sin 2\theta
\displaystyle \frac{\partial u}{\partial \theta} = 2e^{-r}\,\cos 2\theta

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