Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 1
O enunciado dá a função
em termos de duas variáveis independentes
e
:
O que se pede: determinar as derivadas parciais de primeira ordem:
-
; -
.
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é produto de duas funções, uma que depende só de
, , e outra que depende só de , . - As variáveis independentes são
e ; ao derivar parcialmente em relação a uma, a outra é tratada como constante.
Passo 2
Breve revisão das regras que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Definição de derivada parcial: para uma função
,
e análoga para
. Na prática calculamos tratando a outra variável como constante.
- Regra do produto (para derivadas parciais): se
então, ao derivar em relação a ,
porque
é constante quando diferenciamos em
. De modo similar para derivar em
.
- Regra da cadeia (quando a função tem composição): se uma função é
então . Ex.: .
Essas são as ferramentas necessárias aqui: produto (pois
é produto) e cadeia (para
e
).
Passo 3
Cálculo de
.
- Tratamos
como constante. Escrevendo como produto de uma função de por uma função de :
- Pela regra do produto (com
constante ao derivar em ),
- Agora calculamos
. Aqui se aplica a regra da cadeia: é com , então
- Substituindo em
:
Passo 4
Cálculo de
.
- Agora tratamos
como constante. Novamente usamos a escrita em produto , com constante agora. - Pela regra do produto (agora
é constante ao derivar em ):
- Calculamos
com a regra da cadeia: se então , logo
- Substituindo:
Passo 5
Verificação numérica rápida (para ganhar confiança):
- Por exemplo, em
e :
Isto confirma coerentemente que em
a função decresce em
(derivada negativa) e não muda instantaneamente em
(derivada zero), conforme as fórmulas encontradas.
Passo 6
Dicas para a prova (curtas e úteis):
- Sempre identifique quais fatores dependem da variável que está sendo diferenciada e trate os outros como constantes.
- Lembre-se das duas regras: produto (mantém o outro fator) e cadeia (multiplica pela derivada interna, ex.:
em ). - Evite confundir
com — ao derivar vira e ao derivar multiplica-se pela derivada do expoente.