Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
z=x y+e^yy^2+1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem de uma função de duas variáveis definida por z(x,y)=xy+e^yy^2+1. O conteúdo é derivada parcial, e vamos usar a definição de derivada parcial aplicando a diferenciação em relação a x e a y separadamente, tratando a outra variável como constante.

Passo 2

Para encontrar partial zpartial x, observamos que o termo xy é linear em x e que e^yy^2+1 depende apenas de y. Assim,
partialpartial xl(xyr)=y,partialpartial xl(e^yy^2+1r)=0,
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partial zpartial x=y

Passo 3

Para encontrar partial zpartial y, diferenciamos cada termo em relação a y. Primeiro,
partialpartial y(xy)=x
Depois, para e^yy^2+1, usamos a regra do quociente ou produto: escrevemos como e^ycdot(y^2+1)^-1 e aplicamos a regra do produto. Temos
partialpartial yl(e^y,(y^2+1)^-1r)=e^y,(y^2+1)^-1+e^y,l(-1r)(y^2+1)^-2cdot2y
Isso dá
e^yy^2+1-2y,e^y(y^2+1)^2

Passo 4

Somando com a derivada de xy, concluímos que
partial zpartial y=x+e^yy^2+1-2y,e^y(y^2+1)^2

Resposta

partial zpartial x=y, partial zpartial y=x+e^yy^2+1-2y,e^y(y^2+1)^2

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