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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar $ z_{x} $ e $ z_{y} $ onde $ z = x^{y} $. Isso está dentro do conteúdo de cálculo, especificamente derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como derivar funções com potências e entender que, aqui, $ x $ e $ y $ são variáveis independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar $ z_{x} $, que é a derivada de $ z $ em relação a $ x $. Quando derivamos uma função desse tipo, tratamos $ y $ como uma constante. A fórmula geral para a derivada de $ x^{n} $ em relação a $ x $ é $ n \cdot x^{n-1} $.
Passo 3
Aplicando essa regra na nossa função $ z = x^{y} $, onde $ y $ é constante em relação a $ x $, temos:
Então, a derivada de $ x^{y} $ em relação a $ x $ é $ y $ vezes $ x $ elevado a $ y-1 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ z_{y} $, que é a derivada de $ z $ em relação a $ y $. Aqui, $ x $ será tratado como uma constante. Para derivar $ x^{y} $ em relação a $ y $, usamos a propriedade de que $ x^{y} = e^{y \ln x} $.
Passo 5
Derivando $ e^{y \ln x} $ em relação a $ y $, aplicamos a regra da cadeia:
Portanto, a derivada de $ x^{y} $ em relação a $ y $ é $ x^{y} $ vezes o logaritmo natural de $ x $.