Determine
e
.
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos precisamos usar. Queremos calcular as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e a $ y $ no ponto $ (0,0) $. Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e limites. Vamos precisar usar a definição de derivada parcial para resolver isso.
Passo 2
Vamos começar calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ no ponto $ (0,0) $, ou seja, $ f_x(0,0) $. A derivada parcial em $ x $ é definida como o limite:
Passo 3
Primeiro, vamos calcular $ f(h,0) $. De acordo com a definição da função $ f(x, y) $:
Como $ y = 0 $, temos $ h \cdot 0 = 0 $, então $ f(h,0) = 1 $.
Passo 4
Sabemos que $ f(0,0) = 1 $, pois $ 0 \cdot 0 = 0 $.
Passo 5
Substituindo na fórmula da derivada parcial:
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ no ponto $ (0,0) $, ou seja, $ f_y(0,0) $. A definição é similar:
Passo 7
Calculamos $ f(0,k) $. Aqui, $ x = 0 $, então $ 0 \cdot k = 0 $, então $ f(0,k) = 1 $.
Passo 8
Substituindo na fórmula da derivada parcial:
Resposta
As derivadas parciais no ponto $ (0,0) $ são $ f_{x}(0,0) = 0 $ e $ f_{y}(0,0) = 0 $.