Determine as derivadas parciais de primeira ordem.
z=2 yy+sin x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função z=2yy+sin x. O conteúdo principal aqui é derivadas parciais e vamos usar a regra do quociente, tratando x ou y como constantes conforme o caso.

Passo 2

Para obter partial zpartial x, vemos que y é constante. Aplicando a regra do quociente: numerador u=2y (derivada u'=0) e denominador v=y+sin x (derivada v'=cos x). Então
partial zpartial x=u',v - u,v'v^2=0cdot(y+sin x)-2y,cos x(y+sin x)^2=-2y,cos x(y+sin x)^2

Passo 3

Para obter partial zpartial y, tratamos x como constante. Agora u=2y (derivada u'=2) e v=y+sin x (derivada v'=1). Aplicando a regra do quociente:
partial zpartial y=u',v - u,v'v^2=2(y+sin x)-2ycdot1(y+sin x)^2=2y+2sin x-2y(y+sin x)^2=2sin x(y+sin x)^2

Resposta

partial zpartial x=-2ycos x(y+sin x)^2, partial zpartial y=2sin x(y+sin x)^2

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