Verifique se existe o limite abaixo. Em caso de existência, calcule o limite.
lim (x, y) (0,0) x y^2x^3-y^4

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos analisar o limite de uma função de duas variáveis dado por
f(x,y)=x,y^2x^3-y^4
à medida que (x,y)to(0,0). O conteúdo principal é limite em R^2 e vamos precisar verificar se o valor chega ao mesmo número por quaisquer caminhos de aproximação.

Passo 2

Análise ao longo da reta y=mx: substituindo na expressão temos
x,(m x)^2x^3-(m x)^4 =m^2 x^3x^3-m^4 x^4 =m^2 x^3x^3l(1-m^4 xr) =m^21-m^4 x
Quando (x,y)to(0,0), isto é xto0, o denominador tende a 1, logo o limite ao longo dessa reta é m^2.

Passo 3

Conclusão: como o valor limite m^2 depende do coeficiente angular m (por exemplo, para m=0 dá 0, para m=1 dá 1), o limite não é único. Portanto, pelo critério de caminhos diferentes que levam a resultados distintos, o limite não existe.

Resposta

Não existe.

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