Determine as derivadas parciais de primeira ordern da função:
f(x, y)=x^5+3 x^3 y^3+3 x y^4

Passo 1

A questão pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função f(x,y)=x^5+3x^3y^3+3xy^4. O conteúdo aqui é diferenciação parcial: vamos tratar cada variável como constante quando derivamos em relação à outra e usar a regra do poder (se g(u)=u^n, então g'(u)=n u^n-1).

Passo 2

Para calcular partial fpartial x, consideramos y como constante e aplicamos a regra do poder em cada termo:
  • x^5 5x^4.
  • 3x^3y^3 3y^3 como constante, logo a derivada de x^3 é 3x^2, resultando em 3y^3cdot3x^2=9x^2y^3.
  • 3xy^4 a parte em y é constante, derivada de x é 1, então fica 3y^4.
    Somando tudo, temos
partial fpartial x=5x^4+9x^2y^3+3y^4

Passo 3

Para calcular partial fpartial y, agora tratamos x como constante e derivamos em relação a y:
  • x^5 não depende de y, então contribui com 0.
  • 3x^3y^3 3x^3 como constante, derivada de y^3 é 3y^2, dando 3x^3cdot3y^2=9x^3y^2.
  • 3xy^4 trata 3x como constante, derivada de y^4 é 4y^3, resultando em 3xcdot4y^3=12xy^3.
    Somando, obtemos
partial fpartial y=9x^3y^2+12xy^3

Resposta

partial fpartial x=5x^4+9x^2y^3+3y^4
partial fpartial y=9x^3y^2+12xy^3

Exercícios relacionados