A explosão da usina de Chernobil em 1986 lançou aproximadamente 1147 quilogramas do elemento radioativo césio 137 na atmosfera. Sabe-se que o césio 137 possui uma meia vida de 28 anos, ou seja, a cada 28 anos a quantidade de césio 137 cai pela metade. Escreva a função que descreve a massa de césio na atmosfera em função do tempo e usando essa função determine em quanto tempo a massa de césio na atmosfera reduzirá a 4 kg .
Escolha uma opção:
a. 114.087
b. 228.682
c. 228.994
d. 114.291
e. 228.582

Passo 1

Resumo do enunciado: em 1986 soltaram 1147 kg de césio-137 na atmosfera. Sabendo que a meia-vida é de 28 anos (ou seja, a cada 28 anos a massa cai pela metade), queremos:
  1. escrever a função que dá a massa de césio em função do tempo;
  2. achar em quantos anos essa massa chegará a 4 kg.
    Conteúdo: decaimento exponencial e logaritmos. Vamos precisar da fórmula da meia-vida e usar log pra isolar o tempo.

Passo 2

Teoria do decaimento exponencial: quando algo tem meia-vida T1/2, a massa N(t) após t anos é
N(t) = N0 ,l(tfrac12r)^,t/T1/2
Aqui N0=1147 kg e T1/2=28 anos. A ideia é entender que cada bloco de 28 anos divide a massa pela metade.

Passo 3

Montando a equação para achar t quando N(t)=4 kg:
1147;l(tfrac12r)^,t/28 ;=;4
Primeiro isolamos a potência:
l(tfrac12r)^,t/28 = 41147

Passo 4

Agora usamos logaritmo natural ( ln) para “descer” o expoente:
ln!l((tfrac12)^,t/28r) ;=; ln!l(tfrac41147r)
Pela propriedade ln(a^b)=bln(a), temos
t28,ln!l(tfrac12r) = ln(4) ;-;ln(1147)
Como ln(tfrac12) é negativo, fica
t = 28;ln(4/1147)ln(1/2)

Passo 5

Vamos calcular passo a passo (valores aproximados):
ln(4/1147)approx ln(4)-ln(1147)approx1,3863 - 7,0440 = -5,6577,
ln(1/2)approx -0,6931
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t approx 28;-5,6577-0,6931 =28times 8,1646 approx228,68 anos

Resposta

A massa de césio cai para 4 kg em cerca de 228,68 anos. Portanto, a alternativa correta é a letra b. 228.682.

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