Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
f(x, y)=xy

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) = xy . Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde aprendemos como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de mais de uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, as derivadas de f em relação a x e a y separadamente.
Para derivar f em relação a x , tratamos y como uma constante. A função fica:
f(x, y) = xy
Derivando em relação a x :
fx = partial fpartial x = 1y

Passo 3

Agora, vamos derivar f em relação a y . Dessa vez, tratamos x como uma constante. A função ainda é:
f(x, y) = xy
Derivando em relação a y :
fy = partial fpartial y = -xy^2

Passo 4

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas que já encontramos.
Primeiro, vamos derivar fx em relação a x e a y . Lembrando que fx = 1y .
Derivando fx em relação a x :
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 0
Porque 1y não depende de x .
Derivando fx em relação a y :
fxy = partial^2 fpartial y partial x = -1y^2
Aqui, usamos a derivada de 1y em relação a y .

Passo 5

Agora, vamos derivar fy em relação a x e a y . Sabemos que fy = -xy^2 .
Derivando fy em relação a x :
fyx = partial^2 fpartial x partial y = -1y^2
Pois a derivada de -xy^2 em relação a x é -1y^2 .
Derivando fy em relação a y :
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2xy^3
Aqui, usamos a derivada de -xy^2 em relação a y .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem de f(x, y) = xy são:
fx = 1y
fy = -xy^2
E as derivadas parciais de segunda ordem são:
fxx = 0
fxy = fyx = -1y^2
fyy = 2xy^3

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