Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável, onde aprendemos como uma função muda em relação a cada uma das suas variáveis. Para isso, vamos precisar usar as regras de derivação para funções de mais de uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, as derivadas de
em relação a
e a
separadamente.
Para derivar
em relação a
, tratamos
como uma constante. A função fica:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Dessa vez, tratamos
como uma constante. A função ainda é:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar novamente as derivadas que já encontramos.
Primeiro, vamos derivar
em relação a
e a
. Lembrando que
.
Derivando
em relação a
:
Porque
não depende de
.
Derivando
em relação a
:
Aqui, usamos a derivada de
em relação a
.
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
e a
. Sabemos que
.
Derivando
em relação a
:
Pois a derivada de
em relação a
é
.
Derivando
em relação a
:
Aqui, usamos a derivada de
em relação a
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem de
são:
E as derivadas parciais de segunda ordem são: