Use o mûˋtodo de substituiûÏûÈo para determinar as seguintes integrais
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral
usando o método de substituição. Essa é uma técnica de cálculo que ajuda a simplificar integrais complicadas fazendo uma troca de variável. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e substituição para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Temos
. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Isso é possível porque a integral da soma (ou subtração) de funções é a soma (ou subtração) das integrais.
Passo 4
Vamos resolver cada parte separadamente. Começando pela primeira integral:
Lembrando que
, então podemos reescrever a expressão como:
Passo 5
Agora, aplicamos a regra de integração para potências de
, que diz:
onde
e
é a constante de integração.
No nosso caso,
, então:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Essa é uma integral básica. A integral de 1 em relação a
é simplesmente
:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original, juntamos as duas integrais:
onde
é a constante de integração que representa todas as constantes possíveis que podem surgir na antiderivada.