Use o mûˋtodo de substituiûÏûÈo para determinar as seguintes integrais
integral 4-raizxraizx d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral integral 4-raizxraizx , dx usando o método de substituição. Essa é uma técnica de cálculo que ajuda a simplificar integrais complicadas fazendo uma troca de variável. Vamos precisar entender um pouco sobre integrais e substituição para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração dentro da integral. Temos 4 - raizxraizx. Podemos dividir cada termo do numerador pelo denominador:
4raizx - raizxraizx = 4raizx - 1
Então, nossa integral fica:
integral ( 4raizx - 1 ) dx

Passo 3

Agora, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral 4raizx , dx - integral 1 , dx
Isso é possível porque a integral da soma (ou subtração) de funções é a soma (ou subtração) das integrais.

Passo 4

Vamos resolver cada parte separadamente. Começando pela primeira integral:
integral 4raizx , dx
Lembrando que raizx = x^1/2, então podemos reescrever a expressão como:
integral 4 x^-1/2 , dx

Passo 5

Agora, aplicamos a regra de integração para potências de x, que diz:
integral x^n , dx = x^n+1n+1 + C
onde n neq -1 e C é a constante de integração.
No nosso caso, n = -12, então:
integral 4 x^-1/2 , dx = 4 cdot x^(-1/2)+1(-1/2)+1 + C = 4 cdot x^1/21/2 + C = 8 raizx + C

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral 1 , dx
Essa é uma integral básica. A integral de 1 em relação a x é simplesmente x:
integral 1 , dx = x + C

Passo 7

Voltando à nossa expressão original, juntamos as duas integrais:
8 raizx - x + C
onde C é a constante de integração que representa todas as constantes possíveis que podem surgir na antiderivada.

Resposta

integral 4 - raizxraizx , dx = 8 raizx - x + C

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